arcsin w Taylora (lub chociaż w Maclaurina)

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 4 paź 2007, o 13:00

Rozsądek mi nakazuje próbować rozwijać pochodną zamiast funkcji a później scałkować szereg, ale...
\(\displaystyle{ f(x)=arcsin(x) \\
f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
pochodna też nie jest taka ładna do rozwijania w szereg. Z geometrycznego to nie bardzo widze możliwość pociągnąć a pochodne szybko stają sie kosmiczne... i mam problem z wymyśleniem ogólnego wzoru na n-tą pochodną.
Ktoś ma jakiś pomysł?

przemk20 · Post autor: **przemk20** » 4 paź 2007, o 19:41

Najlepiej to chyba skorzystac z uogolnienego dwumianu newtona :
\(\displaystyle{ f'(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} (-x^2)^k}\)

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 4 paź 2007, o 22:33

No ale co dalej: >

Undre · Post autor: **Undre** » 5 paź 2007, o 00:26

czy § 192 z

Kod: Zaznacz cały

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon14/mon1408.pdf

ci pomoże ?

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 5 paź 2007, o 10:56

Undre pisze:

Pomogło; )
Tu własnie jest wyjaśnione jak współczynnik zapisac w uczciwej postaci.

przemk20 pisze:\(\displaystyle{ f'(x) = (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} = \sum_{k=0}^{\infty} {-\frac{1}{2} \choose k} (-x^2)^k}\)

Miałem duże obiekcje co do zastosowania tego wzoru z tego względu że przy jego wyprowadzaniu korzysta się właśnie z rozwinięcia w szereg Maclaurina funkcji \(\displaystyle{ (1+x)^s}\). No i ten współczynnik nieelegancki jakiś.
W każdym razie problem pokonałem, dziekuje za pomoc.

Jeśli by ktoś chciał sobie tak jak ja "od podstaw" wyprowadzić ten wzór to niech sobie rozwinie w szereg funkcję \(\displaystyle{ f(t)=(1+t)^s}\) oraz podstawi pozniej \(\displaystyle{ t=-x^2, s=-\frac{1}{2}}\)
A co zrobić ze współczynnikami pisze w linku.