Wykaż

tuskata · Post autor: **tuskata** » 4 paź 2007, o 18:45

Wykaż, że jeśli x + y + z = 0, to xy + yz + zx ≤ 0

Wykaż, że jeśli a i b są liczbami nieujemnymi to

\(\displaystyle{ \sqrt{ab}}\)≤ \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}}\)

proszę o pomoc!

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 4 paź 2007, o 19:14

\(\displaystyle{ \sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2}}\) tak to powinno wyglądać chyba
looknij do Kompendium 2+2 i tam spójrz w temat Nierówności pomiędzy średnimi

Xfly · Post autor: **Xfly** » 4 paź 2007, o 21:33

Skorzystaj z wzoru skróconego mnożenia (kwadrat sumy). Tzn pomnóż stronami przez dwa, przenieś wyrażenie pierwiastkowe na prawą stronę. Następnie uzyskane wyrażenie zwiń do wzoru skróconego mnożenia. I skorzystaj z właściwości kwadratu danej liczy rzeczywistej (że zawsze jest większy od zera)

tuskata · Post autor: **tuskata** » 4 paź 2007, o 21:51

Dzięki wam.. A macie pomysł na pierwszy dowód..?

luka52 · Post autor: **luka52** » 4 paź 2007, o 22:11

Pierwsze:
\(\displaystyle{ 2xy + 2xz + 2yz q 0\\
2xy + 2xz + 2yz q (x+y+z)^2\\
2xy + 2xz + 2yz q x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz\\
x^2 + y^2 + z^2 q 0}\)
c.n.w.