Granica i zbieżność ciągu- zadania

[Alik]

Zebrało się tu kilka granic, których nie potrafię policzyć;

1. Niech \(\displaystyle{ a,b>0}\) . Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ \sqrt[n]{a^{n}+b^{n}}}\)
2. Niech \(\displaystyle{ a>0}\) . Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ x_{1}=a, x_{n+1}=\sqrt{1+x_{n}}}\)
3. Niech \(\displaystyle{ a\in R}\) . Zbadać zbieżność ciągu \(\displaystyle{ x_{n}=a^{n}}\)
Liczę na Waszą pomoc, z góry dziękuje za każdy przejaw wsparcia.

[Calasilyar]

zad.2.
ciąg jest
- monotoniczny (rosnący)
- ograniczony, na przykład przez a+1:
\(\displaystyle{ x_{1}=a}\)

[Alik]

OK. Ten ciąg jest zbieżny jeśli wartość bezwzględna ilorazu q jest mniejsza od 1, a granica wynosi wtedy \(\displaystyle{ \frac{a_{1}}{1-q}}\) . Nie bardzo wiem jak wygląda iloraz tego ciągu, więc nie potrafię policzyć granicy. Proszę o dalszą, łopatologiczną wskazówkę

[Piotr Rutkowski]

Zobacz, że:
\(\displaystyle{ q=\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{a^{n+1}}{a^{n}}=a}\)

[Alik]

Proste Dzięki!

[ Dodano: 4 Października 2007, 18:59 ]
Mam jeszcze 2 granice, które chyba należy policzyć z tw. o 3 ciągach, ale nie mam pomysłu na dobranie pozostałych ciągów:
1) \(\displaystyle{ \frac{4^{n}+2^{n}}{4^{n}-3^{n}}}\)
2) \(\displaystyle{ \frac{4^{n}-2^{n}}{3^{n}+n^{3}}}\)
I jeszcze taki wynalazek:
3) \(\displaystyle{ \frac{{\sum_{i=1}^{n} i}}{n^{2}}}\)

[Piotr Rutkowski]

3) jest to równoważne:
\(\displaystyle{ \frac{1+2+...+n}{n^{2}}=\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^{2}}=\frac{n+1}{2n} \frac{1}{2}}\)