Biografia
Genialnym malcem zainteresował się książę brunszwicki, który postanowił finansować dalsza naukę chłopca- fundując stypendium. Mógł więc rozpocząc swe studia i tak rozpoczął wspaniała swa karierę... Wkrótce dokonał swych pierwszych odkryć. I tak m.in w jednym ze swych listów opisał on i zaproponował jako pierwszy badanie ważnych funkcji., tzw. dziś analitycznymi.... Teoria ta rozwinięta potem przez innych stała sie bardzo głeboko podjęta. Zajmował sie m.in analiza, t, prawdopodobieństwa, on przewidział potrzebę i doniosłość topologii- którą zwał analysis situs, a miał też osiągnięcia na innych polach. Znał wcześniej od Legendrea, Jacobiego i Abela odwzorowania eliptyczne, ćwierć wieku przed Hamiltonem stworzył kwaterniony! i Podany przez niego dowód podstawowego twierdzenia algebry i rozróżnienie samego wyniku, od efektywnego znajdowania rozwiązan wyprowadziły te dziedzinę na własciwy tor. Uczniów miał dość niewielu, m.in byli nimi Moritz, Olbers ale przede wszystkim B. Riemann.
Kalendarz
1777 - Urodził się sie w Brunszwiku (płn. Niemcy) w ubogiej rodzinie
1792 - poczatek edukacji. uczy się on tutaj m.in nauk filologicznych
1795 - opuszcza Carolinum i udaje się na studia do Getyngi
1798 - ukończenie nauki i wyjazd na uniwersytem w Helmsted,
1799 - powstaje praca doktorska, pt. Demonstratio nova theo
rematis omnen functionem algebraicam,
1805 - zawarł małzeństwo z Joanna Osthoff,-był dwa razy żonaty
1807- otrzymuje nominalny tytuł profesora,
1809 - pisze prace pt. Theoria motus corporum coelestium
in sectionibus conicis Solem ambientium
1810 - medal za wybitne zasługi naukowe, odrzucony
1822 - nieprzyjeta oferta pracy w Berlińskiej Akademii Nauk
1846- Ueber Gegenstande der hohere Geodasie
1855 - śmierć, po krótkiej, lecz ciężkiej chorobie.
Anegdoty o Gaussie....
Pewnego razu ojciec Gaussa zmagał się z obliczeniem tygodniowej wypłaty dla robotników pracujących pod jego nadzorem. Trzyletni brzdąc śledził jego rachunki i w pewnej chwili nieoczekiwanie pisnął : Ojcze, w tym miejscu jest błąd. Zaskoczony ojciec powtórzył rachunek i zgodnie z sugestią syna poprawił błąd. Okazało się, ze malec sam nauczył się czytać, wypytując starszych o wymowa liter alfabetu, a także opanować samodzielnie proste rachunki. Często później wspominał, że nauczył się rachować, zanim jeszcze zaczął mówić.
Kiedy miał lat dziesięć i był w trzeciej klasie wiejskiej szkoły -zabłysnął, gdy nauczyciel polecił uczniom obliczyć sumę kolejnych liczb naturalnych od 1 do stu. Jest na to gotowy wzór, ale uczniowie go nieznali, tak więc ów belfer sądził, że przez godzinkę będzie miał spokój...Ale się pomylił. Wystarczy spojrzeć na dwie linijki poniżej, aby zobaczyć sam pomysł...
s= 1+2+3+....+99+100 =? t100= (1+100)+(2+99) +...+(50+51)=s
Kiedyś znany podróżnik i uczony-amator baron Aleksander von Humboldt spytał Laplace'a, kto jest największym matematykiem w Niemczech, ten rzekł, że Pfaff. Jak to?! wykrzyknał rozmówca. A Gauss...?... Ach , on jest najwiekszym matematykiem w Europie.....brzmiała na to odpowiedz:arrow: Ksiega siedmiu pieczęci
Najważniejsze bez wątpienia dzieło, Disquisitiones Arithmeticae napisane w latach 1795-98, ....w tłumaczeniu -tytuł znaczy "Poszukiwania arytmetyczne" , i choć pisane lakonicznie zawierają wiele bezcennych odkryć...m.in terorię kongruencji, reszt ...., dalej t. binarnych i ternarnych form kwadratowych , etc. Są w nim wyniki do jakich doszli pożniej inni, i tak np. piękne tw. Fermata, o tym ze każda liczba pierwsza postaci 4k+1 da się przedstawić w postaci sumy dwóch kwadratów i tylko w jeden sposób, -dowód oryginalny jest trudny, ...tutaj staje się prostym wnioskiem z ogólnej t. form.
:arrow: Cytaty o Gaussie
Dalszy rozwój arytmetyki, jak zresztą niemal wszystkiego, co królowa nauk w naszym wieku stworzyła oryginalnego, jest z nim zwiazane, jemu zawdzieczamy...
L. Kronecker
Dewizy Gaussa:
"Pauca, sed matura" - Skromnie, ale dojrzale
"Ut nihil amplius desiderandum relictum sit"
- Aby nic więcej nie pozostawało do zrobienia
Wprowadził i uściśilł wiele pojęc z zakresu analizy,. jak choć by słynny wzór -łaczony tez z Ostrogradzkim..o zamianie całki . niemal każdy zna rozkład tzw. normalny w propabilistytyce, metoda najmniejszych kwadratów etc, Jego zaciekawienie tą tematyką rozpoczeło się od wzoru: - jak widać, jest on słuszny dla n naturalnych, a ma sens także dla n rzeczywistych, choć czasem prowani do absurdu,(*) np n=-1, x=-2, Był pierwszym, który odrzucił takie lużne podejście do pewnych "dowolności", prowadzących do bzdur, takich np jak ten...
\(\displaystyle{ (1+x)^n=1+\frac{n}{1!}x+\frac{n(n-1)}{2!}x^2+...}\)
(*) -1=1+2+4+8+....?
theorema aureum
Jeśli iloczyn \(\displaystyle{ a_{p,q}}\) jest l. parzystą, to q jest resztą kwadartową p, wtw, gdy q jest resztą kwadratową p. A gdy \(\displaystyle{ a_{p,q}}\) jest nieparzyste, to q jest resztą kwadratową liczby p wtw, gdy p jest nieresztą kwadratową p.
\(\displaystyle{ a_{p,q}=\frac{p-1}{2} \frac{q-1}{2}}\)
Jest to tzw. prawo wzajemności reszt kwadratowych.
:arrow: Uwaga:
Przy ustalonej l. pierwszej p pytamy dla jakich liczb pierwszych q ma rozwiązanie kongruencja \(\displaystyle{ x^2 \equiv q \ \ (mod \ p)}\)
Jesli tak jest, tj istnieje taki całkowite x, to q zwie się resztą kwadratową liczby p, zaś gdy takowe x nie istnieje, to q zwie się nieresztą kwadratową p.
I tak np dla p=5, reszty kwadratowe to: 11, 19,29,31, .... zaś niereszty to: 2, 3, 7, 13, 17, 23, ....
Pełna odpowiedż na to zagadnienie wykracza nawet poza stan wiedzy wspólczesnej, ..sam dowód jest bardzo trudny, a chcąc dotrzeć do istoty rzeczy podał on ...aż sześć różnych i niezależnych metod, aby to wykazać!
Dowiódł, że n-kąt foremny można skonstruować wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie n na czynniki pierwsze każda nieparzysta liczba pierwsza występuje jeden raz i wszystkie nieparzyste dzielniki pierwsze liczby n są (różnymi) liczbami Fermata:
\(\displaystyle{ F_n=2^{2^{n}}+1}\)
tj., mozna taką konstrukcję wykonać np. dla n=3, 5 i 15- co wiedzieli już Grecy, , ale nie można dla n=7, 9, 11 i 13. Znowóż można dla n=17, 257, 65537 itd. Tego samego dnia, kiedy dokonał swego odkrycia, tj 30 marca 1796 r. założył słynny notatnik - zawiera on 146 krótkich ale błyskotliwych notatek.... Sam dowód sprowadza się do element. znalezienia pierwiastków rownania, ,,skad już łatwo jest policzyć przez pierwiastniki
:arrow:
\(\displaystyle{ \frac{x^{17}-1}{x-1}= x^{16}+ x^{15}+...+x+1=0}\)
\(\displaystyle{ cos(\frac{2\pi}{17})=\frac{1}{16}(-1+\sqrt{17} +2(17-\sqrt{17})+ 2\sqrt{17+ 3\sqrt{17}-2(17-\sqrt{17})-2(17+\sqrt{17}) })}\)
Na polu geometrii wiemy, że od niego wywodzi się np. ....pomysł budowania wież triangulacyjnych, za ich pomocą mierzył on kąty w bardzo duzych trójkątach, a to po to, aby sprawdzić, czy nasza przetrzeń jest faktycznie euklidesowa, Zainteresowała go powstała w 1829 r. praca Łobaczewskiego O podstawach geometrii, jak i zagadnienia związane z Postulatem Równoległych...
:arrow: Odnotował , że tzw. lemniskatę Bernoulliego można podzielić konstrukcyjnie na pięć części. itd. Jest to jak wiadomo krzywa, zdef jako zbiór punktów, których iloczyn odległości od dwóch zadanych punktów jest stały. N. H Abel zbadał w 1829 r. problem: dla jakich N można l.B podzielić na N równych części. Warunek jest taki sam, jak w tw. Gaussa o konstrukcji N-kątów foremnych (czyli podziale koła na N równych części)!
Od niego pochodzi koncepcja krzywizny. Jeśli w 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej leży powierzchnia M, ,to kładziemy w każdym jej punkcie p, wektor jednostkowy do niej prostopadły \(\displaystyle{ \vec n(p)}\) i uzyskuje się funkcję n. Przy pomocy tego odwzorowania określa się krzywiznę k(p) powierzchni M w punkcie p jako granicę
\(\displaystyle{ n: M \mapsto S^2: p\mapsto n(p)}\)
\(\displaystyle{ k(p)=lim \frac{m(n(A))}{m(A)}}\),
gdzie m() wyraża pole, zaś granica ta jest brana względem obszarów A, zawierających punkt p i o polach dązacych do zera. Geniusz podał kilka wzorów na krzywiznę, i udowodnił parę twierdzeń, jak np. takie:
theorema egregium
Jeśli powierzchnia zakrzywiona daje się rozłożyć na jakiejs innej powierzchni z zachowaniem długości wszystkich krzywych, to wielkość krzywizny w każdym punkcie pozostaje bez zmiany.
Jako znakomity astronom dał się poznać przy odnalezieniu planetoidy Ceres, i.na podstawie obserwacji. Dokonania princeps math w dziedzinie fizyki są wiecej niż znaczne. Stworzył uklad cgs, zajmował się m.in zagadnieniami elektryczności, i magnetyznu oraz t. potencjału. Odkrył wiele prawa m.in takie
:arrow: strumień wektora indukcji elektr. D przez dowolną pow. zamkniętą jest równy całkowitemu ładunkowi Q zawartemu w przestrzeni V, ograniczonej ta powierzchnią.
:arrow: Zasada najmniejszego przymusu, w każdej chwili rzeczywisty ruch układu mech. o więzach doskonałych , tj bez tarcia... na który działają siły czynne różni się od wszystkich innych mozliwych ruchów tym, że jego odchylenie od ruchu swobodnego (gdy brak więzów) jest najmniejsze
\(\displaystyle{ Z=\frac{1}{2} \sum_i m_i(\vec a_i - \vec a_i ^{sw})^2}\)
:arrow:
I wreszcie sławetny wzór, który formalnie dowiódł Ostrogradzki ok 1830 r. wyraża się w postaci wektorowej w formie jak poniżej, gdzie \(\displaystyle{ div \ \vec v}\) to dywergencja pola v przez skierowany element powierzchniowy \(\displaystyle{ d \vec S}\).
\(\displaystyle{ I= \int \vec v \ d \vec S}\) zwie się strumieniem pola \(\displaystyle{ \vec v}\) przez powierchnie S.
\(\displaystyle{ \int div \ \vec v \ dV= \int \vec v \ d \vec S}\)
http://www.ftj.agh.edu.pl/~lenda/cicer/gauss1.htm
Bibliografia
Walter Kaufmann Buhler- Gauss, A biographical study, Springer Verlag
G. Waldo Dunnington, Carl Friedrich Gauss, Titan of Science. A study
of his live and work, Exposition Press, New York,
:arrow:
