Postac kanoniczna i iloczynowa-wyprowadzenie

[cardona]

Witam :]
Na pocztek mam takie pytanko:
Czy ktos sie spotkal z takim wzorem na funkcje kwadratowa w postaci kanonicznej:

\(\displaystyle{ y=a[(x-(-2a))^{2}+(\frac{- \Delta}{4a^{2}})]}\) ?

Bo nie wiem juz czy ja cos zle przepisalem, czy moze jakos jest ten wzor zamieszany sprytnie?

A wracajac do tematu, czy moge kogos prosic o wyprowadzenie dla mnie postaci kanonicznej i iloczynowej? Poniewaz musze to umiec, a nie wiem jak sie za to zabrac..

Pozdrawiam

[Atraktor]

tak
jest to inaczej wzor \(\displaystyle{ y=a(x-p)^2+q}\) i za p oraz q podstawiamy wzory jak obliczyc ich wartosci.tyle ze w twoim wzorze masz zle podstawiony wzor na p

[Piotrek89]

\(\displaystyle{ y=a(x-p)^{2}+q}\) ,gdzie:

\(\displaystyle{ p=\frac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{ q=\frac{-\Delta}{4a}}\)

więc:

\(\displaystyle{ y=a(x-p)^{2}+q =a\left((x-p)^{2}+\frac{q}a} \right) =a ft( (x-p)^{2} - (\sqrt{\frac{-q}{a}})^{2} \right)=}\)
\(\displaystyle{ =a ft( (x-\frac{-b}{2a})^{2} - (\sqrt{\frac{-(-\Delta)}{4a^{2}}})^{2} \right)=a\left(x-\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right) ft( x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)}\)

[cardona]

Tzn - czyli tu tez jest zle podstawienie ? \(\displaystyle{ (\frac{- \Delta}{4a^{2}})}\) No bo jesli tak - to powinno byc bez kwadratu..
A co do wyprowadzen - to nie wiesz jak? Bo ogolnie to kanoniczna sie chyba zaczyna od wzoru skroconego mnozenia \(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}}\) tylko wlasnie - nie wiem jak dalej ??: No i iloczynowej juz w ogole ??:

[Atraktor]

za q jest dobrze podstawione bo jak widzimy wszystko jest w nawiasie kwadratowym a wiec jak wymnoysz razy a to a^2 uprosci sie

[cardona]

A co w takim razie powinno byc podstawione za p?

[Atraktor]

p=-2a/b

[Rogal]

Wyprowadzenie jest proste i elementarne korzystając tylko ze wzorów skróconego mnożenia.
Mamy
\(\displaystyle{ f(x) = ax^{2} + bx + c = a(x^{2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}) = \\ = a[(x+\frac{b}{2a})^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}} + \frac{c}{a}] = a[(x+\frac{b}{2a})^{2} + \frac{-b^{2} + 4ac}{4a^{2}}]}\)
Teraz jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ \frac{b}{2a} = -p \ b^{2} - 4ac = \Delta}\), to otrzymamy postać kanoniczną, czyli przesunięcię o wektor funkcji \(\displaystyle{ y = ax^{2}}\):
\(\displaystyle{ f(x) = a(x-p)^{2} - \frac{\Delta}{4a}}\)
A teraz korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów robimy sobie postać iloczynową:
\(\displaystyle{ f(x) = a[(x-p)^{2} - (\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})^{2}] = a(x-p-\frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x-p+\frac{\sqrt{\Delta}}{2a}) = a(x+\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{\Delta}}{2a})(x+\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}) = a(x - \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a})(x - \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a})}\)
Stąd miejsca zerowe funkcji f to \(\displaystyle{ x_{1} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\ x_{2} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}}\)

W całym tym wyprowadzeniu przyjmujemy a różne od zera, zaś do postaci iloczynowej dobrze jest, by delta była nieujemna.