oblicz granice

[robin5hood]

\(\displaystyle{ \lim_{x\to\ 0} (\frac{ln(1-sinx)}{3^{tgx}-1})}\)

[Lorek]

\(\displaystyle{ \frac{\ln (1-\sin x)}{3^{\tan x}-1}=-\frac{\ln (1-\sin x)}{-\sin x}\cdot \frac{\tan x}{3^{\tan x}-1}\cdot \cos x\to -1\cdot \frac{1}{\ln 3}\cdot 1=\frac{1}{\ln 3}}\)

[robin5hood]

a czemu ta pierwsza granica sie równa -1 a ta druga \(\displaystyle{ \frac{1}{\ln 3}}\)?

[Lorek]

Jak \(\displaystyle{ a_n\to 0}\), to \(\displaystyle{ \frac{\ln (1+a_n)}{a_n}\to 1}\) i podobnie \(\displaystyle{ \frac{p^{a_n}-1}{a_n}\to \ln p}\). Oczywiście zamiast ciągu możemy wstawić dowolną funkcję zbieżną do 0.