Największe pole prostokąta wpisanego

[Apocalypte]

Proszę o pomoc w tym zadaniu:

Który z prostokątów wpisanych w trójkąt równoboczny o bok długości a ma największe pole?

Nie mam pojęcia jak to można obliczyć.

[Piotr Rutkowski]

Najłatwiej rozpatrywać sobie połówkę prostokąta wpisaną w połowę trójkąta. Wpisujesz sobie to w układ współrzędnych, liczysz z własności trójkąta równobocznego wzór funkcji w porównaniu do podstawy, pole prostokąta opisujesz wzorem, a potem liczysz maksimum funkcji kwadratowej

[Apocalypte]

Najłatwiej rozpatrywać sobie połówkę prostokąta wpisaną w połowę trójkąta. Wpisujesz sobie to w układ współrzędnych

Mógłbyś mi to narysować?

Chyba nie mogę rozwiązać tego zad. przez zły rysunek

[Piotr Rutkowski]

OK, rozpatrzmy to "połówkowo" tak jak doradziłem. Otrzymamy trójkąt prostokątny o bokach \(\displaystyle{ a, \frac{1}{2}a, \frac{a\sqrt{3}}{2}}\). Nasz szukany prostokąt będzie miał pole równe:\(\displaystyle{ P=x*f(x)}\), gdzie x to nasza zmienna niezależna (tutaj podstawa trójkąta), a f(x) zmienna niezależna (tutaj wysokość trójkąta). Można wyznaczyć naszą funkcję f(x) właśnie umiejscawiając trójkąt w układzie współrzędnych. Będzie ona miała p[ostać prostej zawierającej przeciwprostokątną naszego trójkąta. Można to wyliczyć na wiele sposobów, ale najłatwiej będzie po prostu wziąć 2 wierzchołki trójkąta jako punkty, czyli :
\(\displaystyle{ A=0,frac{asqrt{3}}{2}}\) oraz
\(\displaystyle{ B=\frac{1}{2}a,0}\) z tego łatwo wyznaczysz szukane f(x) i wtedy szukając pola korzystasz z podanego już przeze mnie wzoru:
\(\displaystyle{ P=x*f(x)}\) i badasz funkcję kwadratową

[Apocalypte]

Wielkie dzięki, mam jeszcze jedną prośbę, liczyłeś to? Jeżeli tak czy mógłbyś podać mi wynik, chciałbym go dla pewności sprawdzić.


f(x) ma wyliczone, ale za x podstawić co? 1/2x?

[Piotr Rutkowski]

Ostateczny wynik wyszedł mi, że największe pole będzie miał prostokąt o podstawie \(\displaystyle{ \frac{1}2{a}}\) (to już po rozpatrzeniu w całości, a nie w połówce)

Nie, za x nie podstawiasz nic, po prostu badasz tutaj funkcję kwadratową postaci:
\(\displaystyle{ x*f(x)=x(-\sqrt{3}ax+\frac{\sqrt{3}}{2})=-\sqrt{3}ax^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}ax=a*(-\sqrt{3}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}x)}\)
wartość maksymalną funkcja w nawiasie przyjmuje dla \(\displaystyle{ x=\frac{1}{4}}\), a więc rozpatrując to już w całości (bez "połówkowania") będzie to jak mówiłem \(\displaystyle{ Dlugoscpodstawy_{prostokata}=\frac{1}{2}a}\)