żS-1, od: paskuda, zadanie 3

[Liga]

Taka prosta istnieje i nazywana jest prostą Eulera.

DOWÓD:
H-punkt przecięcia wysokości trójkąta ABC
O-środek koła opisanego na trójkącie ABC
S - środek ciężkości trójkąta ABC

A', B' i H' są obrazami odpowiednio punktów A,B,H w jednokładności o skali \(\displaystyle{ k=\frac{1}{2}}\) i środku w punkcie C.

Wtedy 2A'H'=AH.

Czworokąt A'OB'H' jest równoległobokiem (widać to z rysunku), więc OB' = A'H'.

Zatem 2OB'=AH.

Środek ciężkości S dzieli środkowe w trójkącie w stosunku 2:1, więc AS=2B'S .

OB' || AH, więc kąty OB'S i HAS są sobie równe (kąty naprzemianległe).

Zatem ΔB'OS, jest obrazem ΔAHS w jednokładności o środku w S i skali k .

Stąd otrzymujemy, że punkty S,O,H leżą na jednej prostej.

c.n.d.
imagic .pl/files /view /5380 / Obraz%20001 .jpg

[scyth]

Zadanie przyszło 3 minuty przed północą. Trzeba je uwazględnić w punktacji, szczególnie, że jest prawidłowo rozwiązane. 5/5