żS-1, od: Szemek, zadanie 3

[Liga]

\(\displaystyle{ A=(5, 8)\\ B=(-2,9)\\ C=(-4,5)}\)
1. Wyznaczam punkt przecięcia środkowych
Środkowe trójkąta przecinają się w punkcie zwanym środkiem ciężkości.
Jeśli \(\displaystyle{ S=(x_S, y_S)}\) jest środkiem ciężkości trójkata to: \(\displaystyle{ {x_S=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}}\wedge{y_S=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}}}\),
\(\displaystyle{ S=(\frac{5-2-4}{3},\frac{8+9+5}{3})\iff{S=(-\frac{1}{3},7\frac{1}{3})}\)

2. Wyznaczam punkt przecięcia wysokości
Do wyznaczenia tego punktu wystarczą dwie wysokości trójkąta.
Oznaczam dwa punkty: D i E,
takie że:
D należy do prostej AC, prosta BD zawiera wysokość poprowadzoną z punktu B i przecina prostą AC w punkcie D pod kątem prostym, \(\displaystyle{ BD\perp AC}\)
E należy do prostej AB, prosta CE zawiera wysokość poprowadzoną z punktu C i przecina prostą AB w punkcie D pod kątem prostym, \(\displaystyle{ CE\perp AB}\)
\(\displaystyle{ AC:(y-y_A)(x_C-x_A)-(x-x_A)(y_C-y_A)=0}\)
\(\displaystyle{ AC:(y-8)(-4-5)-(x-5)(5-8)=0}\)
\(\displaystyle{ AC:-9y+72+3x-15=0}\)
\(\displaystyle{ AC:-9y=-3x-57}\)
\(\displaystyle{ AC:y=\frac{1}{3}x+6\frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ BD:y=ax+b}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq0}\)
\(\displaystyle{ BD\perp{AC}\iff{\frac{1}{3}\dot{a}=-1}\iff{a=-3}}\)
\(\displaystyle{ BD:y=-3x+b}\)
\(\displaystyle{ B\in{BD}}\)
\(\displaystyle{ 9=-3\cdot(-2)+b\iff{b=3}}\)
\(\displaystyle{ BD:y=-3x+3}\)

\(\displaystyle{ AB:(y-y_A)(x_B-x_A)-(x-x_A)(y_B-y_A)=0}\)
\(\displaystyle{ AB:(y-8)(-2-5)-(x-5)(9-8)=0}\)
\(\displaystyle{ AB:-7y+56-x+5=0}\)
\(\displaystyle{ AB:-7y=x-61}\)
\(\displaystyle{ AB:y=-\frac{1}{7}+8\frac{5}{7}}\)
\(\displaystyle{ EC:y=ax+b}\), gdzie\(\displaystyle{ a\neq0}\)
\(\displaystyle{ AB\perp{EC}\iff{-\frac{1}{7}\cdot{a}=-1\iff{a=7}}\)
\(\displaystyle{ EC:y=7x+b}\)
\(\displaystyle{ C\in{EC}}\)
\(\displaystyle{ 5=7\cdot(-4)+b\iff{b=33}}\)
\(\displaystyle{ EC:y=7x+33}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+3\\y=7x+33\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+3\\-3x+3=7x+33\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+3\\-10x=30\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+3\\x=-3\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=-3\\y=12\end{cases}}\)
punkt przecięcia wysokości oznaczam jako \(\displaystyle{ H=(-3,12)}\)

3. Wyznaczam środek koła opisanego
Do wyznaczenia punktu wystarczą dwie symetralne boków trójkąta.
środki boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ S_{AB}=(\frac{5-2}{2},\frac{8+9}{2}),S_{AC}=(\frac{5-4}{2},\frac{8+5}{2})}\)
\(\displaystyle{ S_{AB}=(1\frac{1}{2},8\frac{1}{2}),S_{AC}=(\frac{1}{2},6\frac{1}{2})}\)
oznaczam:
prosta \(\displaystyle{ m}\) - symetralna boku AC
prosta \(\displaystyle{ n}\) - symetralna boku AB
\(\displaystyle{ m:y=-3x+b}\), prostopadła do prostej \(\displaystyle{ AC}\) w punkcie \(\displaystyle{ S_{AC}}\), równoległa do \(\displaystyle{ BD}\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(\displaystyle{ BD}\)
\(\displaystyle{ S_{AC}\in{m}}\)
\(\displaystyle{ 6\frac{1}{2}=-3\cdot\frac{1}{2}+b\iff{b=8}}\)
\(\displaystyle{ m:y=-3x+8}\)
\(\displaystyle{ n:y=7x+b}\), prostopadła do prostej \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ S_{AB}}\), równoległa do\(\displaystyle{ EC}\), więc ma ten sam współczynnik kierunkowy co prosta \(\displaystyle{ EC}\)
\(\displaystyle{ S_{AB}\in{n}}\)
\(\displaystyle{ 8\frac{1}{2}=7\cdot{1\frac{1}{2}}+{b}\iff{b=-2}}\)
\(\displaystyle{ n:y=7x-2}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+8\\y=7x-2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+8\\-3x+8=7x-2\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+8\\-10x=-10\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=-3x+8\\x=1\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\y=5\end{cases}}\)
środek koła opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) oznaczam jako \(\displaystyle{ O=(1,5)}\)

4. Sprawdzam czy punkty leżą na jednej prostej.
Wyznaczę prostą przechodząca przez dwa punkty i sprawdzę czy trzeci punkt należy do tej prostej.
\(\displaystyle{ {S=(-\frac{1}{3},7\frac{1}{3})}\)
\(\displaystyle{ H=(-3,12)}\)
\(\displaystyle{ O=(1,5)}\)
\(\displaystyle{ HO:(y-y_H)(x_O-x_H)-(x-x_H)(y_O-y_H)=0}\)
\(\displaystyle{ HO:(y-12)(1+3)-(x+3)(5-12)=0}\)
\(\displaystyle{ HO:4y-48+7x+21=0}\)
\(\displaystyle{ HO:4y=-7x+27}\)
\(\displaystyle{ HO:y=-1\frac{3}{4}x+6\frac{3}{4}}\)
sprawdzam czy punkt \(\displaystyle{ S}\) należy do prostej \(\displaystyle{ HO}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot(-1\frac{3}{4})+6\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{4}{12}=-\frac{7}{12}+6\frac{9}{12}}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{4}{12}\neq{6\frac{2}{12}}}\)
Odpowiedź: punkt przecięcia wysokości, punkt przecięcia środkowych oraz środek koła opisanego na tym trójkącie nie leżą na jednej prostej.

[mol_ksiazkowy]

Szemek napisał

sprawdzam czy punkt \(\displaystyle{ S}\) należy do prostej \(\displaystyle{ HO}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}\cdot(-1\frac{3}{4})+6\frac{3}{4}}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{4}{12}=-\frac{7}{12}+6\frac{9}{12}}\)
\(\displaystyle{ 7\frac{4}{12}\neq{6\frac{2}{12}}}\)

Punkty H, S, O prawidłowo wyliczone, równanie HO także i...
na sam koniec gdy juz pozostało tylko "postawic kropke nad i"
feralny bład przy sprawdzaniu, a poza tym bez zastzrezen
wg mnie 4 pkt

[scyth]

no niestety ten błąd z minusem kosztuje go jeden punkt z minusem. 4/5

[Tristan]

Piękne rozwiązanie, tylko ten malutki błąd na końcu... Z bólem serca 4/5. Oczywiście gdyby były połówkowe to by dostał 4,5/5 :]