Styczna do wykresu

[iksarp]

Funkcja f dana jest wzorem \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}+4}\). Jedna ze stycznych do wykresu funkcji jest nachylona do osi OX pod kątem, ktorego cosinus jest równy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Wyznacz rownanie tej stycznej.

[Jestemfajny]

\(\displaystyle{ cos\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}-> \ =30^{o} \ \ tg\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}
\ \ tg\alpha=f'(x_{0})\\
y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}\)
liczysz pochodną f(x), przyrównujesz do tg i wyliczasz \(\displaystyle{ x_{0}}\)
i tylko do wzoru wyżej, pozostawiam do obliczenia.
Pozdrawiam.

[iksarp]

wszystko ładnie i w ogole.. tylko za bardzo nie wiem, co się wzieło skąd. a dokladniej dlaczego tga= f'(x0) oraz to cale drugie rownanie. Mogłbys wyjasnic?
dzieki i pozdrawiam

[Jestemfajny]

\(\displaystyle{ y-f(x_{0})=f'(x_{0})(x-x_{0})}\)
to jest wzór z którego możemy wyznaczyc równianie stycznej(jeżeli uczyłeś sie pohodnych powinienes go znac)
\(\displaystyle{ y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}\)
gdzie:
\(\displaystyle{ x_{0}}\)-punkt styczności:
\(\displaystyle{ f'(x_{0})}\)-pohodna funkcji w punkcie.
równianie stycznej jest liniowe czylki ogólnej postaci y=ax+b
a wiadomoże \(\displaystyle{ a=tg\alpha}\)(z własności funkcji liniowej)
\(\displaystyle{ y=(f'(x_{0}))x+(f'(x_{0})x_{0}+f(x_{0}))}\)
stąd widac że \(\displaystyle{ f'(x_{0})=tg\alpha}\)
Pozdrawiam.

[iksarp]

dzieki bardzo jeszcze raz:)