Całka nieoznaczona...

[Mice]

Pomożecie?

\(\displaystyle{ \int\sqrt{(8x^{2}-4x)}dx}\)

[soku11]

\(\displaystyle{ 2\int\sqrt{2x^{2}-x}dx=
2\int \frac{2x^2-x}{\sqrt{2x^{2}-x}}dx=
4\int \frac{x}{\sqrt{2x^{2}-x}}\cdot xdx-2\int \frac{xdx}{\sqrt{2x^2-x}}\\
\\
t \frac{xdx}{\sqrt{2x^2-x}}=
\frac{1}{4}\int \frac{4x-1+1}{\sqrt{2x^2-x}}dx=
\frac{1}{2}\int \frac{4x-1}{2\sqrt{2x^2-x}}dx+\frac{1}{4}\int \frac{dx}{\sqrt{2x^2-x}}=\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-x}+\frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{dx} {\sqrt{x^2-\frac{1}{2}x}}=
\frac{1}{2}\sqrt{2x^2-x}+\frac{\sqrt{2}}{8}\int \frac{dx} {\sqrt{(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}}}\\
x-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}t\\
...}\)

A pierwsza przez czesci podobnie do tej:
\(\displaystyle{ \int \frac{xdx}{\sqrt{2x^{2}-x}}\cdot x \\
u=x\quad dv=\frac{xdx}{\sqrt{2x^{2}-x}}\\
...}\)

POZDRO

[Mice]

Początek pięknie ale z tą pierwszą dalej nie mogę sobie poradzić. Całkując przez części wychodzi kosmos:/ A może da się do tej całki zastosować metodę współczynników nieoznaczonych i byłoby prościej??

[luka52]

A może da się do tej całki zastosować metodę współczynników nieoznaczonych

Oczywiście, że można, choć czy warto to już raczej kwestia indywidualna

Można jeszcze sprowadzić wielomian pod pierwiastkiem do postaci kanonicznej i przez podsatawienie sprowadzić całkę do całki postaci \(\displaystyle{ \int \sqrt{t^2 - 1} \, \mbox{d}t}\), która jest dość prosta