różnowartościowość

[piwne_oko]

korzystając z definicji zbadaj czy funkcja \(\displaystyle{ f}\)jest różnowartościowa:


\(\displaystyle{ f(x)=x^{2}-3x}\)

[Sylwek]

Definicja funkcji różnowartościowej:
\(\displaystyle{ x_{1} x_{2} f(x_{1}) f(x_{2})}\)

Dziedziną naszej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych. Więc zakładamy:
\(\displaystyle{ x_{1} x_{2} \iff x_{1}-x_{2} 0 \\ f(x_{1})-f(x_{2})=x_{1}^2-3x_{1}-x_{2}^2+3x_{2}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2})-3(x_{1}-x_{2})= \\ =(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}-3)}\)

Pierwszy czynnik jest zawsze różny od zera - z założenia. Drugi czynnik nie zawsze jest różny od zera, dokładniej gdy:
\(\displaystyle{ x_{1}=3-x_{2}}\)

Wtedy:
\(\displaystyle{ f(x_{1})-f(x_{2})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}+x_{2}-3)=0 \iff f(x_{1})-f(x_{2})=0 \iff f(x_{1})=f(x_{2})}\)

Czyli nie jest to funkcja różnowartościowa w całej swojej dziedzinie.