równość

mateusz200414 · Post autor: **mateusz200414** » 29 wrz 2007, o 10:34

cześć

mam problem z tą równością, możecie mi pomóc?

Wykaż, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}- \sqrt[3]{5 \sqrt{2}-7}=2}\)

próbowałem to podnieść do sześcianu, ale zapędzam się w kozi róg...

p.s.

i jeszcze jeden...

\(\displaystyle{ ( \frac{2+ \sqrt{3}}{ \sqrt{2}+ \sqrt{2+\sqrt{3}}} + \frac{2- \sqrt{3}}{ \sqrt{2}- \sqrt{2-\sqrt{3}}})^2=2}\)

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 29 wrz 2007, o 11:08

odnosnie pierwszej równości to
oznacz przez x pierwszy skladnik różnicy a przez y drugi i skorzystaj z równości

\(\displaystyle{ (x-y)^3=x^3-y^3-3xy(x-y)}\)
oznaczmy przez a=x-y
wtedy otrzynujemy równanie
\(\displaystyle{ a^3=14-3a}\)
a=2

mateusz200414 · Post autor: **mateusz200414** » 29 wrz 2007, o 12:15

dziękuję, a jest jakiś inny sposób?

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 29 wrz 2007, o 17:56

Kto wie jak wykazać tę drugą równość?

kuma · Post autor: **kuma** » 29 wrz 2007, o 18:09

sprowadź ułamki w nawiasie do wspólnego mianownika
(po wymnożeniu powinieneś uzyskać w mianowniku 1)

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 29 wrz 2007, o 18:14

A mozesz to wykonac?
I skad tam wyjdzie 1 w mianowniku?!

kuma · Post autor: **kuma** » 29 wrz 2007, o 18:24

\(\displaystyle{ (\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}})(\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}})=2-\sqrt{2}*\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{2}*\sqrt{2+\sqrt{3}}-1=1-\sqrt{4-2\sqrt{3}}+\sqrt{4+2\sqrt{3}}=1-\sqrt{(\sqrt{3}-1)^{2}}+\sqrt{(\sqrt{3}+1)^{2}}=1-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}+1=3}\)

Sorry wychodzi 3

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 29 wrz 2007, o 18:39

A z licznikiem jak?
mozesz policzyc jeszcze licznik?

mateusz200414 · Post autor: **mateusz200414** » 29 wrz 2007, o 19:01

rozwiązanie zadania jest dla mnie dość ważne, dlatego jeszcze raz proszę o pomoc

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 wrz 2007, o 10:04

W 1 można jeszcze skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ 5\sqrt{2}\pm 7=(\sqrt{2}\pm 1)^3}\)

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 30 wrz 2007, o 10:08

a w drugiej równości?

mateusz200414 · Post autor: **mateusz200414** » 30 wrz 2007, o 11:16

wiem Lorek doszedłem do tego

mam jednak problem z ta drugą równością

Lorek · Post autor: **Lorek** » 30 wrz 2007, o 11:28

Może podstaw \(\displaystyle{ 2+\sqrt{3}=t^2, t>0}\), wtedy masz \(\displaystyle{ 2-\sqrt{3}=\frac{1}{t^2}}\) i się coś może uprości. A i tak poza tym pomiędzy ułamkami powinien być plus, bo inaczej równość nie zachodzi.

robin5hood · Post autor: **robin5hood** » 30 wrz 2007, o 11:47

ale z tym podstawieniem tez jakos to trudno wykonac

mateusz200414 · Post autor: **mateusz200414** » 30 wrz 2007, o 14:45

Lorek, jasne - "+", poprawiam; sorry za pomyłkę.

jesli uda sie to komuś zrobić to proszę o przedstawienie wyniku

p,s,
zrobiłem, bardzo dziękuję wszystkim za pomoc!