Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe...

[Daumier]

Wyznacz wszystkie funkcje kwadratowe \(\displaystyle{ f}\) takie, że dla każdej liczby rzeczywistej\(\displaystyle{ x}\) zachodzi warunek:

\(\displaystyle{ f(x+1) - f(x) = 8x + 3}\)

Proszę o pomoc, od czego zacząć

[soku11]

\(\displaystyle{ f(x)=ax^2+bx+c\\
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)+c\\
a(x^2+2x+1)+bx+b+c-ax^2-bx-c=8x+3\\
ax^2+2ax+a+bx+b+c-ax^2-bx-c=8x+3\\
2ax+a+b=8x+3\\
\begin{cases} 2a=8\\a+b=3\end{cases} \\
\begin{cases} a=4\\b=-1\end{cases} \\
f(x)=4x^2-x+c\ \ c\in\mathbb{R}\\}\)


POZDRO

[Piotr Rutkowski]

Niech \(\displaystyle{ f(x)=ax^{2}+bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a\neq 0}\)
\(\displaystyle{ f(x+1)-f(x)=a(x+1)^{2}+b(x+1)+c-ax^{2}-bx-c=2ax+a+b=8x+3}\)
z tego mamy, że:
\(\displaystyle{ 2a=8}\)
\(\displaystyle{ a+b=3}\)
czyli ostatecznie \(\displaystyle{ f(x)=4x^{2}-x+c}\), dla \(\displaystyle{ c\in R}\)