Wykazać równość #2

[bah]

Muszę wykazać równość: \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}{n\choose k} =2^n}\). Wykorzystuję wzór newtona [\(\displaystyle{ x=y=1}\)], lecz nie wiem czy tak jest dobrze.

[Sylwek]

Chyba dobrze myślisz, ale nie jestem pewny Twojego zapisu . Dwumian Newtona to:
\(\displaystyle{ (a+b)^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k}\)

Zapiszmy to w odwrotnej kolejności:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n \choose k}a^{n-k}b^k=(a+b)^n}\)

Niech a=1 oraz b=1:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n{n \choose k}1^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n{n \choose k}=(1+1)^n=2^n}\)

Co było do udowodnienia

[Piotr Rutkowski]

Albo jeszcze inaczej. Z definicji \(\displaystyle{ {n\choose k}}\) to liczba k elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Skoro sumujemy liczbę podzbiorów 0-elementowych, 1-elementowych,..., n-elementowych, to otrzymujemy liczbę wszystkich podzbiorów naszego zbioru n-elementowego, czyli dokładnie \(\displaystyle{ 2^{n}}\)