żS-1, od: Sylwek, zadanie 2

[Liga]

Dla przejrzystości przyjmę oznaczenia:
\(\displaystyle{ a=a_{1} \\ b=a_{2} \\ c=a_{3} \\ x=a_{1}^3 \\ y=a_{2}^3 \\ z=a_{3}^3}\)

Z definicji ciągu arytmetycznego:
\(\displaystyle{ y=\frac{x+z}{2}}\)

Mamy udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}=\frac{2}{a^2+ac+c^2}}\)

Rozważę 2 przypadki (korzystając z definicji ciągu arytmetycznego):
a) a=b=c

Wtedy byłoby:
\(\displaystyle{ L_{T}=\frac{1}{a^2+a^2+a^2}+\frac{1}{a^2+a^2+a^2}=\frac{2}{a^2+a^2+a^2}=P_{T}}\)

czyli równość jest spełniona


b) a≠b - z definicji ciągu arytmetycznego wiemy, że jeśli chociaż 2 wyrazy ciągu arytmetycznego są różne, to nie istnieją 2 jednakowe wyrazy tego ciągu. Spróbujemy więc przekształcać równoważnie tezę, aby ją potwierdzić:

\(\displaystyle{ (?) \ \frac{1}{a^2+ab+b^2}+\frac{1}{b^2+bc+c^2}=\frac{2}{a^2+ac+c^2} \\ (?) \ \frac{a-b}{a^3-b^3}+\frac{b-c}{b^3-c^3}=\frac{2(a-c)}{a^3-c^3} \\ (?) \ \frac{a-b}{x-y}+\frac{b-c}{y-z}=\frac{2(a-c)}{x-z} \\ (?) \ (a-b)(y-z)(x-z)+(b-c)(x-y)(x-z)=2(a-c)(x-y)(y-z) \\ (?) \ (a-b)(y-z)(x-z)+(b-c)(x-y)(x-z)=2(a-c)(x-y)(y-z) \\ (?) \ axy-axz-ayz+az^2-bxy+bxz+byz-bz^2+ \\ bx^2-bxy-bxz+byz-cx^2+cxy+cxz-cyz= \\ 2axy-2axz-2ay^2+2ayz-cxy+cxz+cy^2-cyz \\ (?) \ a(-xy+xz+2y^2-3yz+z^2)+b(x^2-2xy+2yz-z^2) \\ +c(-x^2+3xy-xz+yz-2y^2)=0}\)

Zauważmy, że:
\(\displaystyle{ -xy+xz+2y^2-3yz+z^2=-\frac{x(x+z)}{2}+xz+\frac{x^2+2xz+z^2}{2}-\frac{3z(x+z)}{2}+z^2= \\ \frac{-x^2-xz+2xz+x^2+2xz+z^2-3xz-3z^2+2z^2}{2}=0}\)

Również:
\(\displaystyle{ x^2-2xy+2yz-z^2=x^2-x(x+z)+z(x+z)-z^2=x^2-x^2-xz+xz+z^2-z^2=0}\)

Analogicznie
\(\displaystyle{ -x^2+3xy-xz+yz-2y^2=\frac{-2x^2+3x(x+z)-2xz+z(x+z)-(x+z)^2}{2}= \\ \frac{-2x^2+3x^2+3xz-2xz+xz+z^2-x^2-2xz-z^2}{2}=0}\)

Czyli:
\(\displaystyle{ a(-xy+xz+2y^2-3yz+z^2)+b(x^2-2xy+2yz-z^2) \\ +c(-x^2+3xy-xz+yz-2y^2)=0}\)

A że wcześniejsze przekształcenia były równoważne, to teza została dowiedziona

[scyth]

Nie jest to najprostsze z rozwiązań, jak i ja nie jestem zwolennikiem tej ścieżki rozwiązywania zadań (preferuję dochodzenie z lewej strony do prawej niż przekształcenia obu), jednak zadanie jest jak najbardziej poprawnie rozwiązanie.

5/5

[mol_ksiazkowy]

Elegancja i prostota też jest -choc nie najwazniejszym byc moze
elementem oceny, moja propozycja 4 pkt

[bolo]

Jeżeli zadanie jest wykonane całkowicie poprawnie, beż żadnych uchybień, to wówczas nie mamy argumentu dla zabrania punktu.