Reszta z dzielenia; podwójny pierwiastek.

[GT4R]

1. Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez x+1 wynosi 3, a reszta z dzielenia W(x) przez x-2 wynosi 15. Znajdż resztę, którą otrzymamy dzieląc W(x) przez (x+1)(x-2).

2. Dla jakich wartosci p i q liczba 2 jest pierwiastkiem podwójnym wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x^3-x^2+px+q}\)?

Temat poprawiłam. Polecam lekturę Regulaminu. Kasia

[soku11]

1.
\(\displaystyle{ W(-1)=3\\
W(2)=15\\
W(x)=(x+1)(x-2)\cdot Q(x) +ax+b\\
W(-1)=-a+b\\
W(2)=2a+b\\
\begin{cases} -a+b=3\\2a+b=15\end{cases}}\)

2.
\(\displaystyle{ \begin{cases} W(2)=0\\W'(2)=0\end{cases}}\)

POZDRO

[GT4R]

GT4R, do tego drugiego zadanka mam takie równanie 2p+q=-4 , ale tylko jedeno jak znalezć drugie

[soku11]

2.
\(\displaystyle{ W'(x)=3x^2-2x+p\\
\begin{cases} 8-4+2p+q=0\\12-4+p=0\end{cases} \\
\begin{cases} 2p+q=-4\\8+p=0\end{cases} \\
\begin{cases} q=-4-2p\\p=-8\end{cases} \\
\begin{cases} q=12\\p=-8\end{cases} \\}\)

POZDRO

[scyth]

2. można prościej (bez pochodnych - niektórzy mogą ich jeszcze nie znać ):
z warunków zadania wiemy, że \(\displaystyle{ W(x)=(x-2)^2\cdot(x+c)}\), gdzie c to pewna liczba. W takim razie porównując stronami oba wzory dostajemy:
\(\displaystyle{ (x-2)^2(x+c)=x^3-x^2+px+q \\
x^3-x^2(4-c)+x(4-4c)+4c=x^3-x^2+px+q}\)
Stąd porównując współczynniki dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
4-c=1 \\
4-4c=p \\
4c=q
\end{cases} \\
\\
\begin{cases}
c=3 \\
p=-8 \\
q=12
\end{cases} \\
W(x)=x^3-x^2-8x+12}\)