Granica ciągu liczb wymiernych

[MAT_AŁ]

Udowodnij lub obal twierdzenie:
Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.

[max]

Twierdzenie jest prawdziwe, dowód można oprzeć np na konstrukcji Dedekinda liczb rzeczywistych lub na lemacie:
Dla każdej liczby niewymiernej \(\displaystyle{ \alpha}\) i każdej liczby \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ p_{n}\in \mathbb{Z}, \ q_{n}\in \mathbb{N}}\), że:
\(\displaystyle{ \left|\alpha - \frac{p_{n}}{q_{n}}\right| < \frac{1}{n q_{n}}}\)

Sam chętnie zobaczę inne propozycje

[jovante]

Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) będzie rozwinięciem dziesiętnym liczby\(\displaystyle{ \alpha}\) z dokładnością do \(\displaystyle{ n}\) miejsc po przecinku. Oczywiście \(\displaystyle{ \lim_{n \to }a_n=\alpha}\)

[max]

Powinno się nadać, ale.. skąd wynika istnienie takiego rozwinięcia?

[mol_ksiazkowy]

MATał napisa:

Dla każdej liczby niewymiernej istnieje ciąg liczb wymiernych zbieżny do tej liczby.

nop zapodał bym do rozwazenia nast
tematy: tj tak więc
1 wykaz ze ciąg \(\displaystyle{ x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n + \frac{r}{x_n})}\)
jest zbiezny do \(\displaystyle{ \sqrt{r}, \ r \in Q}\)
czy jest monotoniczny, jak szybka jest jego zbieznosc?
2. czy zbior \(\displaystyle{ X=\{ \frac{a+b\sqrt{r}}{c}, \ a, b,c , r>0 \ r\in Q \ \}}\)
jest gesty w R ?
etc
ps.
Informatycy twierdza, ze choc wartosc \(\displaystyle{ x_1}\) w rekurencji
wypisnej powyzej mozna wziasc dowolnie, z punktu matemat
jest to owszem bez znaczenia, to jednak algorytm działa najszybciej
wrecz znakomicie, gdy .... \(\displaystyle{ x_1 [\sqrt{r}]}\)
I tak np
r=78, x1 =9
\(\displaystyle{ x_2 8,83333...}\)
\(\displaystyle{ x_3 8,831761...}\)
etc
\(\displaystyle{ \sqrt{78}= 8,831760866....}\)

[max]

A co np z liczbami przestępnymi?

[mol_ksiazkowy]

Chodizło mi tu o to -i taka luzna propozycje dałem szukać zbioru
Y gestego w R i t. ze do każdego elementu y z Y potrafimy efektywnie
wyznaczyc ciag el. złozony z liczb wymiernych, zbiezny do y

[Rogal]

Ja osobiście rozmyślałem dawno nad tym, czy każdą liczbę niewymierną można zapisać jako granicę ciągu liczb wymiernych i nie znalazłszy takiego ciągu dla na przykład sin 1 stopnia, stwierdziłem, że się nie da.
Patrząc więc po tym temacie bardzo chętnie bym takowy ciąg zobaczył

[max]

To, że czegoś nie widać, nie znaczy, że tego nie ma

Poza tym łatwo jednak taki ciąg znaleźć, będzie to np ciąg przybliżeń dziesiętnych z coraz większą liczbą miejsc po przecinku, a przybliżenia takowe (o dowolnej dokładności) można uzyskać np korzystając z rozwinięcia sinusa w szereg Taylora.

[Sir George]

Proponuję rozważyć ciąg reduktów ...

Dokładniej, dla dowolnej niewymiernej liczby \(\displaystyle{ x}\) definiujemy:
\(\displaystyle{ x_0\ =\ [x],\cr x_{n+1}\ =\ ft[\frac1{x-x_n}\right]}\)
oraz
\(\displaystyle{ q_n\ =\ x_0+\frac1{x_1+\frac1{\ddots+\frac1{x_n}}}\ \ \mathbb{Q}}\)

.

.

Wówczas \(\displaystyle{ q_n\ \to\ x}\)

[micholak]

Badz tez \(\displaystyle{ x_{n}=\frac{[10^{n}x]}{10^{n}}}\)

[Rogal]

Fajne, dziękuję wszystkim za odpowiedź : )