Otwartość zbioru, ciąg zbieżny w przestrzeni metrycznej.

[galaxja]

pilnie prosze o pomoc w rozwiązaniu dwóch zadań z topologii:
1) czy zbiór (-a,a) zawarty w R^2 jest otwarty w R^2?
2) pokazać, że jeśli ciąg elementów przestrzeni metrycznej (X,q) spełnia warunek Cauchy'ego i zawiera podciąg zbieżny, to jest zbieżny.
????

[Arek]

1.
Zbiór (-a,a) ? Trochę kiepska definicja zbioru /sorry za formalizm/, ale pokazać to nietrudno. Jak łatwo zauważyć (-a,a)"c"[-a,a]. Zatem zamiast mówić, że (-a,a) jest w R^2, napiszemy, że jest w B= [-a,a], a"e"R. I tutaj twierdzimy, że jeżeli A=(-a,a), to A' = B-A jest domknięty. I koniec dowodu (samo przejście z R^2 do [-a,a] można wykonać twierdząc, że (-a,a)"e"R, a dalej wykonać ilorazowe przejście z R do [-a,a], przez przekształcenie:

x=y, jeżeli x"e"(-a,a)
x=a, jeżeli x>=a
x=-a, jeżeli x<=b)

2.

Tu nie łapię...
Czy ciąg, który spełnia warunek Cauchy'ego może nie być zbieżny?

[galaxja]

dziękuję Arku za pierwsze zadanie
co do drugiego... no właśnie. wiem, że definicją ciągu zbieżnego jest właśnie spełnianie warunku Cauchy'ego,ale takie zadanie dostałam niestety na egzaminie.

[Arek]

No rozumiem...
Ale to po prostu chyba chcą byś tam pokazała, że na mocy warunku Cauchy'ego można zrobić całą tą szopkę z wybieraniem indeksów, praca na epsilonach..., że skoro już jest podciąg zbieżny, to do JEGO granicy będzie zbiegał też cały ciąg...

[monia]

Mam jeszcze kilka pytań związanych z topologią.
W jaki sposób udowodnić twierdzenie: Każda f-cja ciągła w przedziale domkniętym [a,b] jest jednostajnie ciągła, tzn. dla każdego e>0 istnieje d>0 taka, że dla dowolnych x, x' E [a,b] zachodzi:
|x - x'| |f(x) - f(x')|<e

i kolejne: jak opisać kule otwarte i domknięte w przetrzeni R^2 z metryką:
q ((x1, x2), (y1, y2)) = max {|x1-y1|, |x2-y2|}

i kolejne:czy dobrze mi się wydaje, że obie f-cje są nieciągłe? :
f(x,y)= { x^2 / sqrt^ (x^2+y^2) gdy (x,y)nie są równe (0,0)
{ 0 gdy (x,y) = (0,0)
oraz
f(x,y)= { x^2/ (x^2+y^2) gdy (x,y) nie są równe (0,0)
{ 0 gdy (x,y) = (0,0)

"(hmm... to ostatnie to już nie za bardzo topologia, ale to tak przy okazji )
pozdrawiam

[Arek]

Co do tych kul w R^2:

Skorzystaj z faktu, że max{a,b}=(a+b+|a-b|)/2

Wówczas metryka, którą podałaś to:

((x1, x2), (y1, y2)) = max {|x1-y1|, |x2-y2|}=
=(|x1-y1|+ |x2-y2|+||x1-y1|- |x2-y2|)|/2

I dalej kwestia jest oczywista...


No a w ostatnim to trzeba te granice, dla (x,y)->(0,0) policzyć...
[/quote]

[Niewiasta]

1.
2.

Tu nie łapię...
Czy ciąg, który spełnia warunek Cauchy'ego może nie być zbieżny?

może jeśli przestrzeń nie jest zupełna

[Arek]

Ach... ale chyba skoro... No niby... Ale myślisz, że aż tacy wredni są? No, ale czy jak ciąg w przestrzeni spełnia warunek Cauchy'ego to czy przestrzeń może nie być zupełna? Skoro ... no to nie wiem... Co proponujesz?

[Nikifor]

Wystarczy wziac ciag przybliżeń dziesietnych np. pierwiastka z dwoch w niezupelnej przestrzeni liczb wymiernych

[Arek]

Dzięki

[gonzo44]

Ach... ale chyba skoro... No niby... Ale myślisz, że aż tacy wredni są? No, ale czy jak ciąg w przestrzeni spełnia warunek Cauchy'ego to czy przestrzeń może nie być zupełna? Skoro ... no to nie wiem... Co proponujesz?

def. przestrzeni zupelnej mowi ze kazdy ciag Cauchy'ego ma byc zbiezny. Czyli samo to ze ciag spelnia warunek Cauchy'ego w tym przypadku nie implikuje niczego.

[Hydroksozbiory]

1.
Zbiór (-a,a) ? Trochę kiepska definicja zbioru /sorry za formalizm/, ale pokazać to nietrudno. Jak łatwo zauważyć (-a,a)"c"[-a,a]. Zatem zamiast mówić, że (-a,a) jest w R^2, napiszemy, że jest w B= [-a,a], a"e"R. I tutaj twierdzimy, że jeżeli A=(-a,a), to A' = B-A jest domknięty. I koniec dowodu (samo przejście z R^2 do [-a,a] można wykonać twierdząc, że (-a,a)"e"R, a dalej wykonać ilorazowe przejście z R do [-a,a], przez przekształcenie:

x=y, jeżeli x"e"(-a,a)
x=a, jeżeli x>=a
x=-a, jeżeli x

ja wszystkiego nie łapie , o ile mi wiadomo odcinek (-a,a), w R^2 jest domknięty, napisałeś:''A=(-a,a), to A' = B-A jest domknięty. I koniec dowodu'', zdaje mi sie próbowałes udowodnić że (-a,a) jest otwarty, , ale to nie prawda

a co do 2. to fakt 1/n, na (0,1], nie zest zb.


i pytanie odemnie, zb domknięty i ograniczony w R^n jest zwarty, ktoś może zna i napisac na tym forum, jakiś przykład zb domknietego i ograniczonego który nie jeste zwarty, ciekawym jestem jaka to może być przestrzeń,

pzdr

[Arek]

qrde to już dawno było.... no ale.... wait...

H... no tak ... w R^2 otwarty nie jest (ale czemu miałby być domknięty? - nie zawiera przecież wszystkich swoich punktów skupienia)

A co do pytania: ja również nie znam żadnej przestrzeni domkniętej i ograniczonej, ale nie zwartej (w ogóle może taka być ????)

[Hydroksozbiory]

no może kiedyś gdzies czytałem ale to dawno bylo
tam było coś z dyskretnością, ale buj zabij nie pamiętam

[Arek]

Nie no, zgodźmy się z tym, że (-a,a) nie jest otwarty w R^2, bo nie zawiera wszystkich swoich punktów wewnętrznych. Ale domknięty nie jest, bo nie zawiera wszystkich punktów skupienia.

A przestrzeń domknięta i ogranicznona chyba z założenia jest zwarta