Doprowadzenie do jednego logarytmu.

[Marco Reven]

Witam

Zaczeliśmy logarytmy i nie wiem jak zrobić częśc zadania ??:
Doprowadź do jednego logarytmu

\(\displaystyle{ log_{2}3+log_{2}4^2+log_{4}12-log_{2}5}\)

wiem, że dwa pierwsze wyrazy mają ta samą podstawę więc moge zastosować twierdzenie o iloczynie logarytmów, potem moge zastosować do ostatniego wyrazu tw o ilorazie logarytmów tylko zostaje wyraz \(\displaystyle{ log_{4}12}\) powinienem zastosować zmiane podstawy logarytmu

\(\displaystyle{ log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}}\) tylko jak moge uzyć c w tym wzorze, nie wiem jak można obliczyć c bo nie wiem ile to jest \(\displaystyle{ 4^{c}=12}\) , znalazłem jeszcze wzór któreym moge to przekształcić tak \(\displaystyle{ log_{4}12=\frac{1}{log_{12}4}}\) ale to też chyba nic mi nie daje

Może ktoś mi wytłumaczyć o co chodzi w tym zadanku?

Z góry dzięki za odp

[Piotrek89]

zmiana podstawy logarytmu:

\(\displaystyle{ \log_{4}5=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}}\)

\(\displaystyle{ \log_{2}5=2\log_{4}5}\)

[Marco Reven]

Nie rozumiem skąd masz \(\displaystyle{ log_{4}5}\) mógłbys troche szerzej napisać co zrobiłeś o_O ?

Np dlaczego w podsatwie tych dwóch logarytmów mam 2? Drugiego wyrażenia wogóle nie rozumiem

[Piotrek89]

ok, wychodzimy od wzoru na zmianę podstawy logarytmu:

\(\displaystyle{ log_{a}b=\frac{log_{c}b}{log_{c}a}}\)

nasze 'a' to jest nasza nowa podstawa, do której chcemy doprowadzić, więc

\(\displaystyle{ \log _{4}5}\)

następnie, po drugiej stronie równości mamy iloraz logarytmu, u którego chcemy zmienić podstawę oraz logarytm o tej samej podstawie z liczby a(nowa podstawa).

licząc \(\displaystyle{ \log _{2}4}\) oraz przekształcając równanie otrzymujemy:


\(\displaystyle{ \log_{2}5=2\log_{4}5}\)

(jaśniej chyba nie potrafię )

[Marco Reven]

Musze to przetrawić moment ;P

[ Dodano: 27 Września 2007, 17:43 ]
aaa rozumiem tylko mam już kolejne pytanie...

teraz wyrażenie ma postać \(\displaystyle{ log_{2}3+log_{2}4^{2}+log_{4}12-2log_{4}5}\)

czyli po wykonaniu tego co umiem wykonać jestem przy takiej postaci \(\displaystyle{ log_{2}3+2log_{2}4+log_{4}12-2log_{4}5}\)

i tu mam pytanie jak liczy sie to->\(\displaystyle{ log_{2}3+2log_{2}4}\) będzie \(\displaystyle{ log_{2}(3*2*4)=log_{2}24}\)?
i nastpne: \(\displaystyle{ log_{4}\frac{12}{(2*5)}=log_{4}\frac{12}{10}}\)

tak się to liczy ?? i co dalej z tym

[Piotrek89]

może tak:

\(\displaystyle{ \log_{2}3+\log_{2}4^{2}=\log_{2}48}\)
\(\displaystyle{ \log_{4}12-\log_{4}5^{2} = \log_{4}\frac{12}{25}}\)

i teraz znowu do wspólnej podstawy

[Marco Reven]

i ile Ci na koniec wyszło ? bo mi \(\displaystyle{ log_{4}\frac{27648}{25}}\) dobrze? i to jest ten szukany jeden logarytm?

[Piotrek89]

no nie bardzo :

\(\displaystyle{ \log_{2}48+\frac{1}{2}\log_{2}\frac{12}{25} = \log_{2}\frac{48\sqrt{12}}{5}}\)

[luka52]

Ja nie widzę różnicy...

[Piotrek89]

fakt, źle spojrzałem, byłem przekonany że tam w podstawie jest 2

[Marco Reven]

luka52 skad wiesz, że nie ma róznicy ? w mojej odp a Piotrka ?

Teraz zobaczyłem, ze my troche na około to zrobilismy mozna było od razu ten jeden logarytm z podstawą 4 zamienić na \(\displaystyle{ log_{2}\sqrt{12}}\) i wyszło by tak jak Tobie Piotr to znaczy, że mój wynik jest ok?

[luka52]

to znaczy, że mój wynik jest ok?

Tak, różnica między Twoim wynikiem, a Piotrka89 jest jedynie w wyborze podstawy logarytmu.