Witam, proszę o pomoc w rozwiązaniu tej równości indukcją matematyczną
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} P^{n}_{k} =0}\)
Dziękuję
Wykazać równość
-
- Użytkownik
- Posty: 16
- Rejestracja: 26 wrz 2007, o 19:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Hmm
- Podziękował: 1 raz
Wykazać równość
\(\displaystyle{ P^{k}_{n}}\) oznaczenia w trójkącie Pascal gdzie: \(\displaystyle{ n}\) - numer rzędu a \(\displaystyle{ k}\) - numer miejsca
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wykazać równość
Można np tak:
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} = 1 - 1 = 0}\)
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n + 1}(-1)^{k}P_{n}^{k} = P_{n+1}^{0} + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n+1}^{k} + (-1)^{n+1}P_{n+1}^{n+1} = \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}(P_{n}^{k} + P_{n}^{k - 1}) + (-1)^{n+1}= \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n+1} =\\
= 1 + \sum_{k= 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - 1 - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n} + (-1)^{n+1} = 0}\)
(co ciekawe aby to wykazać nie jest konieczne korzystanie z założenia indukcyjnego)
i np z zasady indukcji wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Skorzystałem z tego, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N} \setminus \{0\}}\) jest:
\(\displaystyle{ P_{n}^{0} = 1\\
P_{n}^{n} = 1}\)
a ponadto dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\)
Dla \(\displaystyle{ n = 1}\) jest \(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} = 1 - 1 = 0}\)
Załóżmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) jest:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n + 1}(-1)^{k}P_{n}^{k} = P_{n+1}^{0} + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n+1}^{k} + (-1)^{n+1}P_{n+1}^{n+1} = \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}(P_{n}^{k} + P_{n}^{k - 1}) + (-1)^{n+1}= \\
=1 + \sum_{k = 1}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n+1} =\\
= 1 + \sum_{k= 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} - 1 - \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{k}P_{n}^{k} + (-1)^{n} + (-1)^{n+1} = 0}\)
(co ciekawe aby to wykazać nie jest konieczne korzystanie z założenia indukcyjnego)
i np z zasady indukcji wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}}\):
\(\displaystyle{ \sum_{k = 0}^{n}(-1)^{n}P_{n}^{k} = 0}\)
Skorzystałem z tego, że dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N} \setminus \{0\}}\) jest:
\(\displaystyle{ P_{n}^{0} = 1\\
P_{n}^{n} = 1}\)
a ponadto dla \(\displaystyle{ n \mathbb{N}\setminus \{0, 1\}}\) oraz \(\displaystyle{ 0}\)