Ustawianie ośmiu osób w szereg.
-
- Użytkownik
- Posty: 30
- Rejestracja: 11 wrz 2007, o 20:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bytom
- Podziękował: 5 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Losowo ustawia się ciąg 8 osób. Niech \(\displaystyle{ P_{i}}\) oznacza prawdopodobieństwo tego, że \(\displaystyle{ i}\) osób stoi na ustalonych dla siebie \(\displaystyle{ i}\)-miejscach . Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \frac{P_{2}\cdot P_{4}\cdot P_{6}\cdot P_{8}}{P_{1}\cdot P_{3}\cdot P_{5}\cdot P_{7}}=105}\)
Proszę serdecznie o pomoc w rozwiązaniu i z góry dziękuję
Temat poprawiłam. Polecam lekturę Regulaminu i poprawne nazywanie tematów. Kasia
\(\displaystyle{ \frac{P_{2}\cdot P_{4}\cdot P_{6}\cdot P_{8}}{P_{1}\cdot P_{3}\cdot P_{5}\cdot P_{7}}=105}\)
Proszę serdecznie o pomoc w rozwiązaniu i z góry dziękuję
Temat poprawiłam. Polecam lekturę Regulaminu i poprawne nazywanie tematów. Kasia
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2007, o 20:25 przez wrc_fan, łącznie zmieniany 1 raz.
-
- Użytkownik
- Posty: 10
- Rejestracja: 10 wrz 2007, o 21:33
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Częstochowa
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 1 raz
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Próbowałem to liczyć w ten sposób: wszystkich ustawień 8 osób jest 8!, jest to ilość zdarzeń elementarnych. \(\displaystyle{ P_{1}}\) - pierwsza osoba stoi na pierwszym miejscu, reszta ustawia się na 7! różnych sposobów. \(\displaystyle{ P_{2}}\)- pierwsza osoba stoi na pierwszym miejscu, druga osoba na drugim miejscu, pozostałe ustawiają się na 6! różnych sposobów, itd. Tylko mi wychodzi zupełnie inna liczba niż 105... Może się gdzieś pomyliłem. Skąd masz to zadanie ?
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
paicey a co z ustawieniami, kiedy początkowe osoby nie stoją na swoich miejscach?
Tak czy inaczej ta równość nie zachodzi (albo treść zadania ma inny sens niż ten, który odczytuję - \(\displaystyle{ P_{i}}\) traktuję jako prawdopodobieństwo tego, że co najmniej \(\displaystyle{ i}\) osób będzie znajdowało się na swoich miejscach (oczywiście równość nie ma sensu, gdy \(\displaystyle{ P_{i}}\) oznacza prawdopodobieństwo ustawienia dokładnie \(\displaystyle{ i}\) osób na ich miejscach, bo wtedy \(\displaystyle{ P_{7} = 0}\))) - gdyż np ciąg \(\displaystyle{ (P_{n})}\) jest nierosnący.
Tak czy inaczej ta równość nie zachodzi (albo treść zadania ma inny sens niż ten, który odczytuję - \(\displaystyle{ P_{i}}\) traktuję jako prawdopodobieństwo tego, że co najmniej \(\displaystyle{ i}\) osób będzie znajdowało się na swoich miejscach (oczywiście równość nie ma sensu, gdy \(\displaystyle{ P_{i}}\) oznacza prawdopodobieństwo ustawienia dokładnie \(\displaystyle{ i}\) osób na ich miejscach, bo wtedy \(\displaystyle{ P_{7} = 0}\))) - gdyż np ciąg \(\displaystyle{ (P_{n})}\) jest nierosnący.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
hmm, moze Pi to ilosc ustawień z i punktami stałymi..
badz tez jeszcze cos innego....?!
badz tez jeszcze cos innego....?!
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Ja to zadanie tak widze:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{(8-i)!}{8!}}\)
Czyli i osób stawiamy na ich miejsach, a pozostałe 8-i osób permutujemy dowoli. Oczywiscie wtedy wynik wychodzi zgoła inny niż podany w tresci zadania.
\(\displaystyle{ P_i=\frac{(8-i)!}{8!}}\)
Czyli i osób stawiamy na ich miejsach, a pozostałe 8-i osób permutujemy dowoli. Oczywiscie wtedy wynik wychodzi zgoła inny niż podany w tresci zadania.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
mol_ksiazkowy napisał:
Jak napisałem już wcześniej, wtedy \(\displaystyle{ P_{7} = 0}\) ...hmm, moze Pi to ilosc ustawień z i punktami stałymi..
- Emiel Regis
- Użytkownik
- Posty: 1495
- Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 225 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Dlaczego zero?
Ustawiamy 7 osób (czyli de facto ustawiamy juz ich 8), a takie ustawienie jest dokładnie jedno.
Czyli:
\(\displaystyle{ P_7=P_8=\frac{1}{8!}}\)
Chyba że my o czym innym mówimy.
Ustawiamy 7 osób (czyli de facto ustawiamy juz ich 8), a takie ustawienie jest dokładnie jedno.
Czyli:
\(\displaystyle{ P_7=P_8=\frac{1}{8!}}\)
Chyba że my o czym innym mówimy.
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Wtedy jest osiem punktów stałych. Zresztą to już zależy czy tych punktów stałych ma być co najmniej siedem, czy dokładnie 7 (patrz mój pierwszy post w tym wątku).Drizzt pisze:Ustawiamy 7 osób (czyli de facto ustawiamy juz ich 8), a takie ustawienie jest dokładnie jedno.
[ Dodano: 26 Września 2007, 19:56 ]
Btw.
To raczej jest niepoprawne podejście, bo najpierw trzeba te osoby wybrać...Drizzt pisze:Ja to zadanie tak widze:
\(\displaystyle{ P_i=\frac{(8-i)!}{8!}}\)
Wg mnie byłoby: \(\displaystyle{ P_{i} = \frac{\sum_{k = i}^{8}{8\choose k}d_{8 - k}}{8!}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{i}}\) to liczba nieporządków (permutacji bez punktów stałych) zbioru i-elementowego.
-
- Użytkownik
- Posty: 204
- Rejestracja: 23 cze 2007, o 14:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Siedlce
- Pomógł: 56 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Ponieważ
\(\displaystyle{ P_0=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{n \choose i}(n-i)!}{n!}=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}}\)
to
\(\displaystyle{ P_k=\frac{\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}}{k!}}\)
przy założeniu, że dokładnie k osób stoi na swoich miejscach
\(\displaystyle{ P_0=1-\frac{\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}{n \choose i}(n-i)!}{n!}=1+\sum_{i=1}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}=\sum_{i=0}^{n}\frac{(-1)^i}{i!}}\)
to
\(\displaystyle{ P_k=\frac{\sum_{i=0}^{n-k}\frac{(-1)^i}{i!}}{k!}}\)
przy założeniu, że dokładnie k osób stoi na swoich miejscach
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Fajne zadanie ... choć moim zdaniem powinno być: \(\displaystyle{ \frac{P_2\cdot P_4\cdot P_6\cdot P_8}{P_1\cdot P_3\cdot P_5\cdot P_7}\,=\,\frac1{105}}\)
.
.
.
... I co Wy na to...
[ Dodano: 28 Września 2007, 21:49 ]
.
.
BTW: jak pisze
.
.
.
... I co Wy na to...
[ Dodano: 28 Września 2007, 21:49 ]
.
.
BTW: jak pisze
to nic nie pisze, że pozostali nie mogą stać na ustalonych przez siebie miejscach... znaczy się - mogąwrc_fan pisze:że i osób stoi na ustalonych dla siebie i-miejscach
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Może i nie jest, nie będę się upierał...max pisze:To i tak nie jest prawda
Jednak przyjmując, że \(\displaystyle{ P_i}\) to pstwo, że conajmniej i osób spośród n stoi na ustalonych przez siebie miejscach, to \(\displaystyle{ P_{i+1}=\frac1{n-i}P_i}\)
.
A moim zdaniem wynika to z pstwa warunkowego
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
Ale jak w takim razie skomentujesz takie rozumowanie:
(1) Liczba \(\displaystyle{ q_{i}}\) takich permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o dokładnie \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = {n\choose i} d_{n - i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{i}}\) oznacza liczbę permutacji bez punktów stałych zbioru \(\displaystyle{ i}\) elementowego (\(\displaystyle{ i}\) elementów zbioru, które będą punktami stałymi możemy wybrać na \(\displaystyle{ {n \choose i}}\) sposobów, zaś pozostałe \(\displaystyle{ n - i}\) elementy możemy ustawić na \(\displaystyle{ d_{n - i}}\) sposobów).
(2) Na mocy (1) liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o co najmniej \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = \sum_{k = i}^{n} q_{k}}\)
(3) W związku z powyższymi uwagami dla \(\displaystyle{ n = 8, \ i = 6}\) mamy \(\displaystyle{ p_{i + 1} = 1, \ p_{i} = 29}\), a ponieważ ze schematu klasycznego \(\displaystyle{ P_{i} = \frac{p_{i}}{n!}}\), to nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P_{i + 1} = \frac{1}{n - i}P_{i}}\)
(1) Liczba \(\displaystyle{ q_{i}}\) takich permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o dokładnie \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = {n\choose i} d_{n - i}}\)
gdzie \(\displaystyle{ d_{i}}\) oznacza liczbę permutacji bez punktów stałych zbioru \(\displaystyle{ i}\) elementowego (\(\displaystyle{ i}\) elementów zbioru, które będą punktami stałymi możemy wybrać na \(\displaystyle{ {n \choose i}}\) sposobów, zaś pozostałe \(\displaystyle{ n - i}\) elementy możemy ustawić na \(\displaystyle{ d_{n - i}}\) sposobów).
(2) Na mocy (1) liczba \(\displaystyle{ p_{i}}\) permutacji zbioru \(\displaystyle{ n}\) elementowego o co najmniej \(\displaystyle{ i}\) punktach stałych wynosi:
\(\displaystyle{ p_{i} = \sum_{k = i}^{n} q_{k}}\)
(3) W związku z powyższymi uwagami dla \(\displaystyle{ n = 8, \ i = 6}\) mamy \(\displaystyle{ p_{i + 1} = 1, \ p_{i} = 29}\), a ponieważ ze schematu klasycznego \(\displaystyle{ P_{i} = \frac{p_{i}}{n!}}\), to nie jest prawdą, że \(\displaystyle{ P_{i + 1} = \frac{1}{n - i}P_{i}}\)
- Sir George
- Użytkownik
- Posty: 1145
- Rejestracja: 27 kwie 2006, o 10:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: z Konopii
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 203 razy
Ustawianie ośmiu osób w szereg.
UUUUPS! (takie wielkie !!!)
max, masz rację.... jak zabrałem się za rachunki, to nie zgadza się nawet dla n=3 i i=1. Cóż, prawdopodobieństwo warunkowe nie jest moją najmocniejszą stroną, a na palcach rzeczywiście liczy się dokładniej...
pozdrawiam skromnie
max, masz rację.... jak zabrałem się za rachunki, to nie zgadza się nawet dla n=3 i i=1. Cóż, prawdopodobieństwo warunkowe nie jest moją najmocniejszą stroną, a na palcach rzeczywiście liczy się dokładniej...
pozdrawiam skromnie