Zadanie dotyczące badania trójmianu kwadratowego. #2

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 25 wrz 2007, o 22:23

Proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania.

Wyznacz takie wartości parametru m, dla których wartość bezwzględna różnicy pierwiastków równania \(\displaystyle{ 5x^{2}-mx+1=0}\) jest równa 1.
Z góry dzięki!

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 25 wrz 2007, o 22:51

Wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt{a^2}=|a|}\). Spróbujemy zrobić mały mix, a potem wzory Viete'a:

\(\displaystyle{ |x_{1}-x_{2}|=\sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2}=\sqrt{x_{1}^2+2x_{1}x_{2}+x_{2}^2-4x_{1}x_{2}} =\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}} = \\ =\sqrt{(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4ac}{a^2}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\sqrt{\frac{m^2-20}{25}} \\ \sqrt{\frac{m^2-20}{25}}=1 \\ m^2-20=25 \\ m^2=45 \\ m=3\sqrt{5} \vee m=-3\sqrt{5}}\)

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 25 wrz 2007, o 22:54

eeee .. a jakoś bez rozpisywania na wzory skróconego mnożenia pod pierwiastkiem da się to zrobić ?? i skąd pod drugim pierwiastkiem pojawiło się \(\displaystyle{ 4x_{1} x_{2}}\) ?

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 25 wrz 2007, o 23:04

Nie wiem, rozpisywałem po to, aby otrzymać podstać wzorów Viete'a i chyba się zgodzisz, że ładnie wyszło. To jest chyba najkrótsza metoda. Nie wiem jakbyś chciał to zrobić?

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 25 wrz 2007, o 23:07

W sumie masz racje. Tylko skąd się bierze to \(\displaystyle{ 4x_{1}x_{2}}\) pod drugim pierwiastkiem?

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 25 wrz 2007, o 23:30

Dodałem i odjąłem to samo:
\(\displaystyle{ \sqrt{x_{1}^2-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2}=\sqrt{x_{1}^2+2x_{1}x_{2}-2x_{1}x_{2}+x_{2}^2-2x_{1}x_{2}}=\sqrt{(x_{1}+x_{2})^2-4x_{1}x_{2}}}\)

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 25 wrz 2007, o 23:34

Nie rozumiem. Dlaczego tak dodałeś i odjąłeś ?

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 26 wrz 2007, o 16:18

Bo miał taką zachciankę i jest sprytny

A tak na serio, bo mamy we wzorach Viete'a wzór na sumę, a nie ma wzoru na różnicę pierwiastków

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 26 wrz 2007, o 22:05

Ostanie pytanie:
Założenia do wypisania przed zadaniem to

\(\displaystyle{ \Delta > 0}\)

\(\displaystyle{ |x_{1}-x_{2}| > 0}\)

\(\displaystyle{ |x| = \sqrt{x^{2}}}\)

czy mam coś źle ?

soku11 · Post autor: **soku11** » 26 wrz 2007, o 22:23

Ostatnie to nie zalozenie... To najzwyklejszy wzor. POZDRO

Szymek10 · Post autor: **Szymek10** » 26 wrz 2007, o 22:32

a więc jak to ma wyglądac ;/ ? ale zamota ....

soku11 · Post autor: **soku11** » 26 wrz 2007, o 23:03

Zalozenia to te dwa pierwsze. Trzecia linijka to powinien byc ci znany standardwoy wzor, ktory ulatwia rozpisanie drugiego zalozenia. POZDRO