jedna calka nieoznaczona
jedna calka nieoznaczona
\(\displaystyle{ \int\sqrt\frac{x+2}{x-1}}\)
prosze o pomoc i z gory dziekuje
prosze o pomoc i z gory dziekuje
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
jedna calka nieoznaczona
Zapewne po \(\displaystyle{ dx}\)
A co do obliczenia, to podstawienie \(\displaystyle{ t^2=\frac{x+2}{x-1}}\)
A co do obliczenia, to podstawienie \(\displaystyle{ t^2=\frac{x+2}{x-1}}\)
jedna calka nieoznaczona
tak tak po dx
podstawienie takie uzylam ale dalej mam problem wiec jesli ktos wie prosze zeby mi to rozwinal
podstawienie takie uzylam ale dalej mam problem wiec jesli ktos wie prosze zeby mi to rozwinal
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
jedna calka nieoznaczona
Z tego podstawienia otrzymujemy: \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{t^2+2}}\), skąd: \(\displaystyle{ dx=\frac{6tdt}{(t^2+2)^2}}\), czyli liczymy całkę:
\(\displaystyle{ \int t\cdot\frac{6tdt}{(t^2+2)^2}=6\int\frac{t^2+2-2}{(t^2+2)^2}dt=6\int\frac{dt}{t^2+2}-12\int\frac{dt}{(t^2+2)^2}}\)
I teraz do wyboru do koloru, pierwsza całka podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}m}\), a druga np podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}\tan m}\) (albo od razu do podstawienie )
\(\displaystyle{ \int t\cdot\frac{6tdt}{(t^2+2)^2}=6\int\frac{t^2+2-2}{(t^2+2)^2}dt=6\int\frac{dt}{t^2+2}-12\int\frac{dt}{(t^2+2)^2}}\)
I teraz do wyboru do koloru, pierwsza całka podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}m}\), a druga np podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}\tan m}\) (albo od razu do podstawienie )
jedna calka nieoznaczona
\(\displaystyle{ t^2=\frac{x+2}{x-1}}\)
z tego \(\displaystyle{ x=\frac{t^2+2}{t^2-1}}\) a nie tak jak napisales \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{t^2+2}}\)
z tego \(\displaystyle{ x=\frac{t^2+2}{t^2-1}}\) a nie tak jak napisales \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{t^2+2}}\)
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
jedna calka nieoznaczona
No tak, za szybko liczyłem, ale w takim razie z czym masz problem? Zrób podobnie jak ja (tylko będą potrzebne inne podstawienia) - otrzymasz całke funkcji wymiernej.
jedna calka nieoznaczona
na koncu zostaje mi taka calka
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(t^2-1)^2}}\)
jak ja mam rozlozyc ?
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(t^2-1)^2}}\)
jak ja mam rozlozyc ?
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
jedna calka nieoznaczona
No tutaj też pare sposobów, ja lubie rozwiązywać takie całki przez podstawienie hiperboliczne \(\displaystyle{ t=\tanh\phi}\), jak chcesz to rozpisze.
- Lider_M
- Użytkownik
- Posty: 867
- Rejestracja: 6 maja 2005, o 12:50
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: MiNI PW
- Pomógł: 258 razy
jedna calka nieoznaczona
No to liczymy:
\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(1-t^2)^2}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\tanh\phi}\), wtedy \(\displaystyle{ dt=\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}}\) oraz \(\displaystyle{ 1-t^2=\frac{1}{\cosh^2\phi}}\), czyli liczymy:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\frac{1}{\cosh^4\phi}}\cdot\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}=\int\cosh^2\phi=\frac{1}{2}\int\left(1+\cosh 2\phi\right)d\phi=\frac{1}{2}\phi+\frac{1}{4}\sinh 2\phi+C=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\mbox{artanh} t+\frac{1}{4}\cdot\frac{2t}{1-t^2}+C=\frac{1}{4}\ln\frac{1+t}{1-t}+\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+C}\) no i teraz tylko powrót do \(\displaystyle{ x}\)
Korzystałem tutaj ze wzorów: \(\displaystyle{ \cosh^2a-\sinh^2a=1, \cosh 2a=\cosh^2t+\sinh^2t}\) oraz \(\displaystyle{ \sinh 2a=\frac{2\tanh a}{1-\tanh^2a}}\) no oraz z tego, że \(\displaystyle{ \mbox{artanh}a=\frac{1}{2}\ln\frac{1+a}{1-a}}\)
\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(1-t^2)^2}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\tanh\phi}\), wtedy \(\displaystyle{ dt=\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}}\) oraz \(\displaystyle{ 1-t^2=\frac{1}{\cosh^2\phi}}\), czyli liczymy:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\frac{1}{\cosh^4\phi}}\cdot\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}=\int\cosh^2\phi=\frac{1}{2}\int\left(1+\cosh 2\phi\right)d\phi=\frac{1}{2}\phi+\frac{1}{4}\sinh 2\phi+C=}\)
\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\mbox{artanh} t+\frac{1}{4}\cdot\frac{2t}{1-t^2}+C=\frac{1}{4}\ln\frac{1+t}{1-t}+\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+C}\) no i teraz tylko powrót do \(\displaystyle{ x}\)
Korzystałem tutaj ze wzorów: \(\displaystyle{ \cosh^2a-\sinh^2a=1, \cosh 2a=\cosh^2t+\sinh^2t}\) oraz \(\displaystyle{ \sinh 2a=\frac{2\tanh a}{1-\tanh^2a}}\) no oraz z tego, że \(\displaystyle{ \mbox{artanh}a=\frac{1}{2}\ln\frac{1+a}{1-a}}\)