kilka szeregow do zbadania

[eric87]

1 Zbada zbieżnośc szeregu
a)\(\displaystyle{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln(n)}{n}}\)
b)\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \ (-1)^{n-1} \tan (\frac{1}{\sqrt{n}})}\)

2 Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\cdot 4^{n}}{(3x+1)^{n}}}\)

3 Wyznaczyć promień i przedział zbieżności szeregu
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \frac{(x+2)^{n}}{(2n-1)\cdot 3^{n}}}\)

[max]

1. a) Dla \(\displaystyle{ n \geqslant 3}\) jest \(\displaystyle{ \ln n > 1}\) i porównując nasz szereg z rozbieżnym szeregiem harmonicznym wnioskujemy, że jest on rozbieżny.
b) Spełnia założenia tw Leibniza, więc jest zbieżny warunkowo.

2. Podstawiając \(\displaystyle{ t = \frac{1}{3x + 1}}\) otrzymujemy prosty szereg geometryczny.

3. Jeśli przyjmiemy \(\displaystyle{ t = x + 2}\), to dostajemy szereg potęgowy postaci:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}\cdot t^{n}}\). Promień zbieżności wyznaczamy z twierdzenia Cauchy'ego-Hadamarda, w tym wypadku wystarczy policzyć granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}}\) i wziąć odwrotność. W lewym końcu przedziału szereg na mocy kryterium porównawczego z szeregiem harmonicznym jest rozbieżny, a w prawym jest zbieżny w myśl tw Leibniza o szeregu naprzemiennym. Dalej wystarczy wrócić do podstawienia.

[eric87]

dzieki
1 a) nie moge po prostu z kryterium calkowego

[max]

Oczywiście możesz i w ten sposób