Wielokrotność i dzielnik

[Łapa]

Czy ktoś potrafi to rozwiązać?

Największy wspólny dzielnik 2 liczb naturalnych wynosi 6, a najmniejsza wspólna wielokrotność tych liczb jest równa 210. Znajdź te liczby.

[sigma_algebra1]

Oznaczmy szukane liczby jako a i b.

2 jest NWD więc istnieja x, y takie, że

a=6x i
b=6y takie, że x i y są względnie pierwsze.

Dalej 210 jest NWW więc istnieją liczby c i d względnie pierwsze, takie ze

210= ca= 6cx
210= db= 6dy

czyli

35=cx
35=dy

a poniewaz mamy szukać liczb względnie pierwszych, a wiemy ze 35 ma rozkład 35=5*7

czyli x=5, y=7 (albo odwrotnie )

więc szukane liczby to a=30, b=42.

[ Dodano: 25 Września 2007, 20:04 ]
a i jeszcze jeszcze jedna odpowiedz

x=1
y=35

wtedy

a=6
b=210

[Łapa]

rozumie, że te 2 liczby naturalne to 30 i 42 tak? ok ok dzieki

[sigma_algebra1]

Cos mi nie wysyła wiadomosci wiec pisze tutaj


tam sa dwa rozwiazania: 30 i 42, oraz 6 i 210. O tym drugim najbardziej oczywistym łatwo zapomnieć

Popatrz NWD oznacza że obie dzielą się przez 6 ale nie dzielą się przez zadna wyższą liczbę naturalną. Liczby względnie pierwsze to takie których NWD to 1. Gdyby x i y nie były względnie pierwsze to istniałoby jakies n>1 ze x=np y= nq a wtedy


a=6x=6np
b=6y=6nq

czyli 6n jest też dzielnikiem liczb a i b a to przeczy ze NWD jest liczba 6. Dalej analogicznie.

W tym przykładzie ta wzgledna "pierwszośc" nie miala moze takiego znaczenia bo 35 rozklada sie tylko na liczby wzglednie pierwsze no ale formalnie znaczenie ma
Pozdrawiam