jedna calka nieoznaczona

[mnatalii]

\(\displaystyle{ \int\sqrt\frac{x+2}{x-1}}\)

prosze o pomoc i z gory dziekuje

[Lider_M]

Zapewne po \(\displaystyle{ dx}\)

A co do obliczenia, to podstawienie \(\displaystyle{ t^2=\frac{x+2}{x-1}}\)

[mnatalii]

tak tak po dx

podstawienie takie uzylam ale dalej mam problem wiec jesli ktos wie prosze zeby mi to rozwinal

[Lider_M]

Z tego podstawienia otrzymujemy: \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{t^2+2}}\), skąd: \(\displaystyle{ dx=\frac{6tdt}{(t^2+2)^2}}\), czyli liczymy całkę:
\(\displaystyle{ \int t\cdot\frac{6tdt}{(t^2+2)^2}=6\int\frac{t^2+2-2}{(t^2+2)^2}dt=6\int\frac{dt}{t^2+2}-12\int\frac{dt}{(t^2+2)^2}}\)
I teraz do wyboru do koloru, pierwsza całka podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}m}\), a druga np podstawieniem \(\displaystyle{ t=\sqrt{2}\tan m}\) (albo od razu do podstawienie )

[mnatalii]

\(\displaystyle{ t^2=\frac{x+2}{x-1}}\)

z tego \(\displaystyle{ x=\frac{t^2+2}{t^2-1}}\) a nie tak jak napisales \(\displaystyle{ x=\frac{t^2-1}{t^2+2}}\)

[Lider_M]

No tak, za szybko liczyłem, ale w takim razie z czym masz problem? Zrób podobnie jak ja (tylko będą potrzebne inne podstawienia) - otrzymasz całke funkcji wymiernej.

[mnatalii]

na koncu zostaje mi taka calka


\(\displaystyle{ \int\frac{1}{(t^2-1)^2}}\)

jak ja mam rozlozyc ?

[Lider_M]

No tutaj też pare sposobów, ja lubie rozwiązywać takie całki przez podstawienie hiperboliczne \(\displaystyle{ t=\tanh\phi}\), jak chcesz to rozpisze.

[mnatalii]

chce chce:)

[Lider_M]

No to liczymy:
\(\displaystyle{ \int\frac{dt}{(1-t^2)^2}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t=\tanh\phi}\), wtedy \(\displaystyle{ dt=\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}}\) oraz \(\displaystyle{ 1-t^2=\frac{1}{\cosh^2\phi}}\), czyli liczymy:
\(\displaystyle{ \int\frac{1}{\frac{1}{\cosh^4\phi}}\cdot\frac{d\phi}{\cosh^2\phi}=\int\cosh^2\phi=\frac{1}{2}\int\left(1+\cosh 2\phi\right)d\phi=\frac{1}{2}\phi+\frac{1}{4}\sinh 2\phi+C=}\)

\(\displaystyle{ =\frac{1}{2}\mbox{artanh} t+\frac{1}{4}\cdot\frac{2t}{1-t^2}+C=\frac{1}{4}\ln\frac{1+t}{1-t}+\frac{1}{4}\frac{2t}{1-t^2}+C}\) no i teraz tylko powrót do \(\displaystyle{ x}\)

Korzystałem tutaj ze wzorów: \(\displaystyle{ \cosh^2a-\sinh^2a=1, \cosh 2a=\cosh^2t+\sinh^2t}\) oraz \(\displaystyle{ \sinh 2a=\frac{2\tanh a}{1-\tanh^2a}}\) no oraz z tego, że \(\displaystyle{ \mbox{artanh}a=\frac{1}{2}\ln\frac{1+a}{1-a}}\)