zadania z prawdopodobienstwa - urna z kulami i loteria

[mart1na]

1. W urnie jest n kul, z ktorych k jest czarnych. Wiedzac, ze k jest rozwiazaniem rownania \(\displaystyle{ {k\choose 3}: {k\choose 2}=3}\), oblicz ile co najwyzej moze byc kul w urnie, aby prawdopodobienstwo dwukrotnego wylosowania czarnej kuli bez zwracania bylo wieksze od \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

2. W urnie znajduje sie 6 kul oznaczonych numerami 3,6,9,12,15,18. Losujemy 6 razy po jednej kuli ze zwracaniem, zapisujac kazdorazowo numery wylosowanej kuli. Jakie jest prawdopodobienstwo, ze wyniki szesciokrotnego losowania utworza ciag arytmetyczny?

3. Wsrod n losow loterii fantowej jest 6 losow wygrywajacych. Jaka musi byc liczba losow, aby prawdopodobienstwo tego, ze zakupione 2 losy beda wygrywajace, bylo wieksze od \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\).

[scyth]

1.
Wyliczamy k:
\(\displaystyle{ 3={k\choose 3}:{k\choose 2}=...=\frac{3}{k-2} \\
\Rightarrow k=3}\)
Prawdopodobieństwo dwukrotnego wylosowania czarnej kuli w losowaniu bez zwracania:
\(\displaystyle{ \frac{k}{n}\cdot\frac{k-1}{n-1}>\frac{1}{3} \\
\frac{3}{n}\cdot\frac{2}{n-1}>\frac{1}{3} \\
18 > n^2-n
n \frac{1}{3} \\
90>n^2-n \\
n < 10}\)
a więc gdy liczba losów wynosi 10 to to prawdopodobieństwo jest dokładnie równe \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\), jest większe od \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) gdy \(\displaystyle{ n < 10}\)