Zadania z egzaminu

[pebe.pl]

Witam!
Mam problem z 2 zadaniami z egzaminu.
W zadaniu numer 1 nie wiem jaka calke ulozyc
W zadaniu numer 2 w pewnym momencie wychodzi mi 0 dzielone przez cos.

zad 1.
Oblicz mase bryly ograniczone powierzchniami: \(\displaystyle{ z=\sqrt{2-x^2-y^2}}\), \(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\) , jesli gestosc jest wyrazona funkcja \(\displaystyle{ q(x,y,z)=3z}\)

zad2.
Oblicz wartosc calki \(\displaystyle{ \int\limits_{S} 2(x+y+z)dydz+3ydzdx+7zdxdy}\), gdzie S oznacza zewnetrzna czesc powierzchni stozka \(\displaystyle{ z>=\sqrt{x^2+y^2}}\),\(\displaystyle{ z}\)

[Amon-Ra]

Całki po powierzchniach zwyczajowo oznaczamy symbolm podwójnym \(\displaystyle{ \iint_{S}}\).

Ad 1. Masa wyrażona jest zawsze jako \(\displaystyle{ m=\iiint_{V}q(x,y,z)dxdydz}\). Równania, które podajesz określają podprzestrzeń ograniczoną przez kulę (równanie \(\displaystyle{ z=\sqrt{2-x^2-y^2}}\) przekształcamy do postaci \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2=2}\)) i przez stożek (\(\displaystyle{ z=\sqrt{x^2+y^2}}\)). I tutaj powstaje problem, gdyż podprzestrzenie ograniczane przez obie powierzchnie są trzy - dwa "stożki" z półokrągłymi denkami oraz kula wydrążona przez podwójny stożek, zatem nie wiem, której bryły masę mamy liczyć.

Ad 2. Z racji tego, że brzeg podprzestrzeni podany jest jako funkcja, w grę wchodzi jedynie stożek leżący nad płaszczyzną Oxy. Całkowanie przebiega po całej powierzchni stożka, łacznie z podstawą (płaszczyzna z=7), po dodatniej jej stronie. Jest to powierzchnia zamknięta, całkowane odwzorowanie jest na niej dobrze określone i klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\), możemy stosować twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego:

\(\displaystyle{ \iint_{S}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy=\iiint_{V}\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dxdydz}\)

Obliczając odpowiednie pochodna cząstkowe, dostaniemy \(\displaystyle{ 12\iiint_{V}dxdydz}\), co jest równoznaczne z wziętą 12 razy objętością stożka.

[luka52]

Równania, które podajesz określają podprzestrzeń ograniczoną przez kulę

Raczej połowę sfery.

[pebe.pl]

podam moze linka do orginalu zadan, moze tam bedzie to jasniej opisane, choc wydaje mi sie ze przepisalem slowo w slowo:
pebe.cba.pl/zada.jpg

[Amon-Ra]

Luka52, ano jasne, zgadza się - czyli w razie braku dodatkowego warunku \(\displaystyle{ z\geqslant 0}\) można bezpiecznie przyjąć, iż rozpatrywaną bryłą jest stożek znad płaszczyzny Oxy i napisać równanie:

\(\displaystyle{ m=3\iiint_{V}zdxdydz=3\iint_{D}dxdy t_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}zdz}\)

Nietrudne jest wyznaczenie zbioru D - będzie to koło o równaniu \(\displaystyle{ x^2+y^2\leqslant 1}\). Dalej dostaniemy:

\(\displaystyle{ m=3\iint_{D}\left. \frac{z^2}{2}\right|_{\sqrt{x^2+y^2}}^{\sqrt{2-x^2-y^2}}dxdy=\frac{3}{2}\iint_{D}(2-2(x^2+y^2))dxdy=\\ 3\iint_{D}(1-(x^2+y^2))dxdy}\)

Przechodzimy na współrzędnie biegunowe \(\displaystyle{ x=r\cos\varphi}\), \(\displaystyle{ y=r\sin\varphi}\), jakobian wynosi r. Zakres zmienności nowych zmiennych determinuje nowy zbiór \(\displaystyle{ \Delta=[0;2\pi]\times [0;1]}\):

\(\displaystyle{ m=3\iint_{\Delta}r(1-r^2)d\varphi dr=3\int_{0}^{2\pi}d\varphi t_{0}^{1}(r-r^3)dr}\)

Pozostawiam do obliczenia.

[pebe.pl]

Oblicz calke \(\displaystyle{ \oint\limits_{B} Rezdz}\) Gdzie B oznacza krzywa doatnie zorientowana. B sklada sie z krzywej\(\displaystyle{ y=4-x^2\,\ y=>1}\) oraz prostej \(\displaystyle{ y=1}\)

Moge to rozwiazc ze \(\displaystyle{ \oint\limits_{B} Rezdz}\) zamieniam na \(\displaystyle{ \iint\limits_{B} xdxdy= t\limits_{1}^{4-x^2}\int\limits_{-sqrt{3}}^{sqrt{3}} xdxdy + t\limits_{0}^{1}\int\limits_{-sqrt{3}}^{sqrt{3}} xdxdy}\)

i czy to nie bedze przypadkiem 0