Udowodnij korzystając z indukcji matematycznej:
\(\displaystyle{ \bigwedge\limits_{n \geqslant 12} p_{n}>3n}\), gdzie \(\displaystyle{ p_{n}}\) to n-ta liczba pierwsza (\(\displaystyle{ p_{1}=2,p_{2}=3...}\))
Nie mam pomysłu z której strony to ugryźć:(
Nierówność z liczbami pierwszymi.
-
Lucjusz
- Użytkownik
- Posty: 28
- Rejestracja: 3 kwie 2007, o 20:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Obywatel Świata
- Podziękował: 12 razy
Nierówność z liczbami pierwszymi.
Dziękuję za wskazówkę. Próbowałem oszaczować to jakoś sprytnie korzystając z niej - niestety bezskutecznie.
Czy mógłbym poprosić o rozwiązanie?
Pozdrawiam!
Czy mógłbym poprosić o rozwiązanie?
Pozdrawiam!
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Nierówność z liczbami pierwszymi.
Najpierw sprawdzenie (to zrobisz sam)
Założenie \(\displaystyle{ p_{n}>3n}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ p_{n} \geq 3n+1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ p_{n+1} \geq p_{n}+2 \geq 3n+1+2=3(n+1)}\)
Teraz, nasz p_{n+1} nie dzieli się przez 3, a więc: \(\displaystyle{ p_{n+1}>3(n+1)}\) c.n.d
Założenie \(\displaystyle{ p_{n}>3n}\) co jest równoważne \(\displaystyle{ p_{n} \geq 3n+1}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ p_{n+1} \geq p_{n}+2 \geq 3n+1+2=3(n+1)}\)
Teraz, nasz p_{n+1} nie dzieli się przez 3, a więc: \(\displaystyle{ p_{n+1}>3(n+1)}\) c.n.d