Dowód podzielności przez 3; wykaż, że a jest całkowite

[syntezator]

Mam problem z tymi zadaniami:

1) Udowodnij, że \(\displaystyle{ 2+2^{2}+...+2^{100}}\) jest podzielne przez 3.

2)O liczbie a wiadomo, że 5a i 11a są liczbami całkowitymi. Wykaż, że a jest liczbą całkowitą.


Proszę o pomoc.

Temat poprawiłam. Regulamin jednak nie gryzie i jego lektura jest całkiem przydatna. Kasia

[Piotr Rutkowski]

OK
1)
\(\displaystyle{ 2\equiv -1 (mod3)}\)
a więc
\(\displaystyle{ 2+2^{2}+2^{3}+...+2^{100}\equiv (-1)+(-1)^{2}+(-1)^{3}+...+(-1)^{100}\equiv 0 (mod3)}\)

2)
\(\displaystyle{ ((11k Z 5k\in Z)\Rightarrow (11k-5k=6k\in Z))\Rightarrow (6k-5k=k Z)}\)
c.n.d.

[syntezator]

Wciąż nie rozumiem rozwiązania zadania 1, czy mógłby ktoś mi pomóc - zapisać rozwiązanie na poziomie gimnazjum.

[Piotr Rutkowski]

Najlepiej będze zapoznać się z kongruencjami https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=30237

[kuma]

można też tak:
\(\displaystyle{ 2(1+2)+2^{3}(1+2)+2^{5}(1+2)+...+2^{97}(1+2)+2^{99}(1+2)=2(3)+2^{3}(3)+2^{5}(3)+...+2^{97}(3)+2^{99}(3)}\)

[syntezator]

Dzięki za pomoc.