kilka zadań z grup i pierścieni

[monothimu]

Mam prośbę o pomoc w kilku zadaniach:
1) Podać przykład nieskończonego ciałą charakterystyki 5
2) Podać przykład pierścienie, który nie jest noetherowsi
3)Ile elementów rzędu 7 może zawierac grupa rzędu 168?
4)Podaj przykład grupy G rzędu 120 która nie jest rozwiazalna
5)Udowodnij, że grupa jest abelowa wtedy tylko wtedy gdy kazda jej klasa elementów sprzężonych jest jednoelementowa
6)Czy istnieje grupa G i takie jej podgrupy A i B że |AB| dzieli |G| ale AB nie jest podgrupą G ?
7)W pierścieniu (Z[1/150])[x] wskaż ideał który nie jest główny
I teraz trochę trudniejsze
8) Sknstruuj ciało 27-mio elementowe i znajdź w jego grupie multiplikatywnej element rzędu 13. Następnie zastosuj to do zbudowania grupy nieabelowej rzedu 351

[mol_ksiazkowy]

monothimu napisa:

4)Podaj przykład grupy G rzędu 120 która nie jest rozwiazalna

\(\displaystyle{ S_5}\)

[ Dodano: 22 Września 2007, 18:58 ]
ad 5 A co to jest klasa elementów sprzężonych ..?

[ Dodano: 22 Września 2007, 22:04 ]
ad 1 \(\displaystyle{ X=Z_5 \oplus Z_5 \oplus Z_5 \oplus....}\)

[Arek]

Po kolei:

1) Ciało funkcji wymiernych pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) powinno być ok...

2) \(\displaystyle{ (2x, 2x^2,2x^3, ... ) \lhd \mathbb{Z}[x]}\)

3) \(\displaystyle{ 168 = 2^3 3 17}\). Korzystamy z tw. Sylowa. Ile 17 - podgrup Sylowa może mieć ta grupa. Ilość ta przystaje 1 mod 17 i dzieli 168. Wśród dzielników 168 tylko jeden przystaje 1 mod 17 i jest nim liczba 1. Zatem grupa rzędu 168 ma dokładnie jedną 17 - grupę Sylowa. Jakiego rzędu jest ta grupa? Oczywiście 17. Zatem mamy 16 elementów rzędu 17.

4) zrobione

5) Klasa elementów sprzężonych elementu \(\displaystyle{ g G}\), to orbita tego elementu przy działaniu grupy na siebie przez sprzężenie. Jeżeli grupa jest abelowa, to jest oczywiste, że dla każdych \(\displaystyle{ g,h G}\), zachodzi \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), a więc klasa sprzężoności h jest jednoelementowa. Jeżeli zaś dla każdego elementu \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = x_{h}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{h}}\) ustalony i należy do G, to w szczególności mamy dla \(\displaystyle{ g = h}\) równość \(\displaystyle{ h = x_{h}}\), zatem dla każdego \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), czyli abelowość.

[mol_ksiazkowy]

6)Czy istnieje grupa G i takie jej podgrupy A i B że |AB| dzieli |G| ale AB nie jest podgrupą G ?

nop. o ile db to rozumiem to AB to jest ogól elem ab. t ze a nalezy do A , zas b do B...o ile tak to chyba kontrzyklad taki , moze "...
\(\displaystyle{ G=S_4}\) i biore za A= {p, e}, B={q, e} , gdzie p i q to inwersje:
\(\displaystyle{ p= {1 2 3 4 \choose 1 2 4 3 }}\), \(\displaystyle{ p= {1 2 3 4 \choose 1 3 2 4 }}\), i
AB={e, p, q, r}=H, \(\displaystyle{ r= {1 2 3 4 \choose 1 4 2 3 }}\), r=pq
H nie tworzy podgrupy, bo \(\displaystyle{ rp H}\)

[monothimu]

Dzięki serdeczne!!
Jeszcze tylko 7 zadanko...bo 8 jest i czasochłonne i pracochłonne..więc nie będę się martwił jak go nie będzie...
Z wielką przyjemnością zaminiłbym Was na mojego ćwiczeniowca

[Arek]

Ad 7. Może np. ideał: \(\displaystyle{ (2x,2x^2,2x^3,2x^4,\ldots)}\) (przykład, który nie jest noetherowski powinien nie być główny )

Ad 8.
Jak skonstruować ciało 27 elementowe? Będziemy do tego potrzebowali ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\), oraz pewnego wielomianu nierozkładalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Co więcej, chcemy, aby wielomian ten był stopnia 3.

Weźmy: \(\displaystyle{ x^3 + 2x + 1 \in \mathbb{Z}_3[x]}\). Gdyby był on rozkładalny, wówczas rozkładałby się na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. W szczególności, miałby pierwiastek w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Podstawiając kolejne elementy (trzy) tego ciała, dostajemy, że funkcja wielomianowa wyznaczona przez naszego kandydata nie przyjmuje dla nich zera. Zatem wielomian jest nierozkładalny. Co z tego? Otóż to, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\) jako pierścień wielomianów nad ciałem jest dziedziną ideałów głównych. Ideał generowany przez element nierozkładalny w DIG, jest maksymalny. A iloraz pierścienia przez ideał maksymalny jest ciałem! Widać już do czego zmierzamy?

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x] / (x^3 + 2x + 1)}\) jest ciałem!

Łatwo zobaczyć, że jego elementami są warstwy następującej postaci:

\(\displaystyle{ \{ax^2 + bx + c + (x^3 + 2x + 1) | a,b,c \in \mathbb{Z}_3\}}\)

Widać więc, że jest to 27 elementowy zbiór. Mamy więc nasze ciało.

O co teraz chodzi z grupą nieprzemienną? Zauważmy kilka faktów:

1) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego jest grupą cykliczną.
2) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego pokrywa się z jego grupą automorfizmów.

W naszym przypadku grupa multiplikatywna ciała ma 26 elementów. Z tw. Cauchy'ego istnieje w niej element rzędu 13.

Teraz sprawa z grupą nieprzemienną rzędu \(\displaystyle{ 13 \cdot 27 = 351}\) polega na skonstruowaniu tzw. produktu półprostego grup, w tym przypadku grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) i grupy addytywnej naszego ciała. Nie wiem, czy spotkałeś się z takim tworem, ale nie jest on zbyt przyjazny Produkt półprosty to taka brzydka forma produktu prostego, ale jest w nią zamieszany homomorfizm pomiędzy jedną grupą, a grupą automorfizmów grupy drugiej. Co więcej, jeżeli homomorfizm ten jest nietrywialny, to już na 100% mamy grupę nieprzemienną.

Teraz, po to była cała szopka z konstruowaniem ciała, by mieć uwagę 2), a więc o identyczności grupy multiplikatywnej i grupy automorfizmów. Co więcej, skoro w grupie automorfizmów istnieje element rzędu 13, to mamy nietrywialny homomorfizm grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) w grupę automorfizmów ciała 27 elementowego. No i w rezultacie produkt półprosty tych grup jest nieabelowym tworem rzędu 351.

Nie wiem, czy warto rozwijać ten temat głębiej. Jeżeli chcesz, to daj znać

[monothimu]

Dzięki serdeczne!!
Spróbuję reszte sam zrobić jesli będę miał watpliwości to się odezwę
Gratuluję tak obszernej wiedzy w takim wieku
Mogę powiedzieć, że było to najtrudniejsze zadanie na egzaminie, którego do końca nie zrobił nikt..
(matematka 2 rok)

[ Dodano: 24 Września 2007, 21:03 ]
Mam jeszcze kilka zadań z którymi nei umiem sobie poradzić:

1.1) Uzasadnij, że dla dowolnego ciała K w pierścieniu K[x,y]:(3x+5y, 5x+3y) = (x,y)
1.2) Uzasadnj, że suma mnogościowa dwóch zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym
1.3)wyznacz wszystkie dzielniki normalne gr S9
1.4)w pierścieniu Q|x| niech I=(x�x� +2x�x� + x�) Oblicz rad(I)

[sirapnotlih]

:/ moze ktos wie jak rozw takie zadanko
sprawdzic zbior wszystkich pierwiastkow zespolonych ustalonego stopnia n z liczby 1 jest grupa