Viete i paramtery

[JarTSW]

Pierwiastkami rownania \(\displaystyle{ x^{2}+bx+2b=0}\) sa dwie rozne liczby. Stosujac wzroy Viete`a zbadaj, czy istnieje taka wartosc parametru b, dla ktorej wyrazenie \(\displaystyle{ (x_{1}+3x_{2})(x_{2}+3x_{1})}\) osiaga wartosc rowa 16.

[florek177]

Przekształć wyrażenie z pierwiastkami do postaci: \(\displaystyle{ 4 x_{1} x_{2} + 3 (x_{1} + x_{2} )^{2} \,}\) i zastosuj wzory Viet`a.

[wb]

1°
\(\displaystyle{ \Delta>0 \\ b^2-8b>0 \\ b(b-8)>0 \\ b\in(-\infty;0)\cup (8;\infty)}\)

2°
\(\displaystyle{ (x_1+3x_2)(x_2+3x_1)=...=4x_1x_2+3(x_1+x_2)^2=16 \\ 3b^2+8b-16=0 \\ b=-4\vee b=\frac{4}{3}}\)

Warunek 1° spełnia tylko b=-4.

[Tristan]

Z wzorów Viete'a mamy, że \(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}= -b; x_{1} x_{2}=2b}\). Przekształcając dane wyrażenie otrzymujemy \(\displaystyle{ (x_{1} +3x_{2})( x_{2} + 3x_{1})=x_{1}x_{2} +3x_{1}^2 +3x_{2} +9x_{1}x_{2}=10x_{1}x_{2} + 3(x_{1}^2 + x_{2}^2)=10x_{1} x_{2} + 3[ (x_{1} +x_{2})^2 - 2x_{1}x_{2} ] = 3(x_{1} +x_{2})^2 +4 x_{1}x_{2}= 3 \cdot ( -b)^2 + 4 \cdot 2b= 3b^2 + 8b}\).
Mamy więc do sprawdzenia, czy istnieje rozwiązanie równania \(\displaystyle{ 3b^2 +8b=16}\) z którym już sobie poradzisz.

[JarTSW]

Kurcze, a ja sie dziwiłem czemu mi źle wyszlo, bo zgubilem kwadrat przy 3b+8b.....Ehhh.

Dzieki za blyskawiczna pomoc! Plusiki dla wszystkich.