Prawo powszechnego ciążenia - kilka zadań

[patry93]

Witam Nie mogę sobie poradzić z tymi zadaniami :/
1) Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi przyciąganie grawitacyjne będzie czterokrotnie mniejsze niż na powierzchni Ziemi? Promień Ziemi \(\displaystyle{ \approx 6400 \ km}\).
2) Na jakiej wysokości nad powierzchnią Ziemi ciężar ciała będzie 25 razy mniejszy niż ciężar tego ciała na powierzchni Ziemi? R Ziemi \(\displaystyle{ \approx 6400 \ km}\).
3) Ciało o masie \(\displaystyle{ 25 \ kg}\) znalazło się na wysokości równej \(\displaystyle{ 4}\) promieniom kuli ziemskiej ponad powierzchnią Ziemi. Jak dużą siłą przyciąga Ziemia to ciało?
4) Prędkość, z jaką porusza się Ziemia względem Słońca, wynosi ok. \(\displaystyle{ 30 \ km/h}\). Znając okres obiegu Ziemi wokół Słońca (1 rok), oblicz średnią odległość od Ziemi do Słońca.

Z góry dziękuję za odpowiedzi.

[Justka]

Ad.1
Ciało ma przyciąganie czterokrotnie mniejsze na jakiejś tam wysokości \(\displaystyle{ h}\) nad powierzchnia ziemi.
Wykorzystujemy tu taki wzór:
\(\displaystyle{ F=G\frac{Mm}{R^2}}\)
gdzie R- promień ziemi
Siła ma być 4 razy mniejsza, a odległośc między ciałami zwiększy się o "h".
\(\displaystyle{ \frac{F}{4}=G\frac{Mn}{(h+R)^2}\\
F=4G\frac{Mm}{(h+R)^2}}\)
POdstawiasz pod F pierwszy wzór:
\(\displaystyle{ G\frac{Mm}{R^2}=4G\frac{Mm}{(h+R)^2}}\)
PO krótkich przekształceniach dochodzimy do postaci
\(\displaystyle{ h=R}\)
Czyli:
Na wysokości 6400km nad powierzchnią ziemi przysiąganie jest czterokrotnie mniejsze.

Ad.2
To zadanie analogicznie
\(\displaystyle{ \frac{F}{25}=G\frac{Mm}{(h+R)^2}\\
F=G\frac{Mm}{R^2}}\)
Podstawiamy pod F drugi wzór
\(\displaystyle{ G\frac{Mm}{R^2}=25G\frac{Mm}{(h+R)^2}\\
\frac{Mm}{R^2}=25\frac{Mm}{(h+R)^2}\\
25R^2=(h+R)^2\\
5R=h+R\\
h=4R}\)
Czyli na wysokości równej 4 promieniom ziemi przyciąganie jest 25 razy mniejsze

Ad.3
Na ziemi przyciaga z siłą równą:
\(\displaystyle{ F=G\frac{M\cdot 25kg}{R^2}}\)
A na wysokości 4R na powierzchnią:
\(\displaystyle{ F_1=G\frac{M\cdot 25kg}{(4R+R)^2}}\)
Musimy policzyc stosunek tych dwóch sił:
\(\displaystyle{ \frac{F_1}{F}=\frac{G\frac{25M}{25R^2}}{\frac{25M}{R^2}}}\)
Po przekształceniach wychodzi:
\(\displaystyle{ \frac{F_1}{F}=\frac{1}{25}}\)
A więc:
\(\displaystyle{ F_1=\frac{1}{25}F}\)
Czyli siła z jaka przyciąga ziemia to ciało jest równa
\(\displaystyle{ F=mg=25kg\cdot 10\frac{N}{kg}=250N\\
F_1=\frac{1}{25}\cdot 250N=10N}\)
POzdrawiam!!

Ad.4
Tu skorzystamy z wzoru na szybkośc ciała poruszającego się po okręgu:
\(\displaystyle{ \upsilon=\frac{2\pi r}{T}}\)
Znamy szysbość i okres obiegu ziemi. A więc podstawiamy pod V i pod T(tylko tu trzeba zamienić 365dni na sekundy)
\(\displaystyle{ 30\frac{km}{h}=\frac{2\pi r}{365\cdot 24 3600}\\
r=\frac{30\frac{km}{h} 31536000}{2\pi}\\
r\approx 150000000km}\)

[patry93]

Wielkie dzięki Justka !!!!!
Ale w 1 zadaniu doszedłem z przekształcaniem do: h*h+2*h*R = 4 i nie wiem co dalej

[Justka]

\(\displaystyle{ 4R^2=(h+r)^2\\
2R=h+R\\
r=h}\)