Znaleźć pole powierzchni powstałej przez obrót podanej krzywej wokół osi OX
a)\(\displaystyle{ y=\sin x}\) dla \(\displaystyle{ 0\leqslant x\leqslant\pi}\)
b)\(\displaystyle{ y=\sqrt{25-x^{2}}}\) dla \(\displaystyle{ -2\leqslant x \leqslant 3}\)
Znaleźć długość krzywej między podanymi punktami:
c)\(\displaystyle{ y=(2x+1)^{\frac{3}{2}}}\) od \(\displaystyle{ A(0,1)}\) do \(\displaystyle{ B=(3,7\sqrt{7})}\)
d)\(\displaystyle{ y=1-\sqrt{x^{3}}}\) od\(\displaystyle{ A(0,1)}\) do \(\displaystyle{ B(4,-7)}\)
e)\(\displaystyle{ y=\frac{1}{4}x^{2}-\frac{1}{2}lnx}\) od \(\displaystyle{ A(1,\frac{1}{4})}\) do \(\displaystyle{ B(e,\frac{1}{4}e^{2}-\frac{1}{2})}\)
Wzór na pole i długość znam ale nie wiem jak wyjść spod pierwiastka :/
Całka oznaczona
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Całka oznaczona
b)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} \\
2\pi\int\limits_{-2}^3 y\sqrt{1+(y')^2} dx=2\pi\int\limits_{-2}^3 \sqrt{25-x^2} \sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}\right)^2} dx = \\ = 2\pi\int\limits_{-2}^3 \sqrt{25-x^2} \sqrt{\frac{25}{25-x^2}} dx = 10\pi \int\limits_{-2}^3 dx = 10\pi(3+2)=50\pi}\)
c)
\(\displaystyle{ y'=3\sqrt{2x+1} \\
\int\limits_0^3 \sqrt{1+(y')^2}dx= \int\limits_0^3 \sqrt{18x+10}dx = \left[\frac{(18x+10)^{\frac{3}{2}}}{27} \right]_0^3 = \frac{512-10\sqrt{10}}{27}}\)
d)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{-3\sqrt{x}}{2} \\
\int\limits_0^4 \sqrt{1+(y')^2}dx= \int\limits_0^4 \sqrt{\frac{9x}{4}+1}dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^4 \sqrt{9x+4}dx = \left[\frac{(9x+4)^{\frac{3}{2}}}{27} \right]_0^4 = \frac{80\sqrt{10}-8}{27}}\)
e)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}= \frac{x^2-1}{2x}\\
\int\limits_1^e \sqrt{1+(y')^2}dx=\int\limits_1^e \sqrt{1+\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2}dx= \int\limits_1^e \sqrt{\left(\frac{x^2+1}{2x}\right)^2}dx = \int\limits_1^e \frac{x^2+1}{2x} dx = \\ =
\frac{1}{2} \left(\int\limits_1^e xdx + \int\limits_1^e \frac{dx}{x} \right)= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2}+\ln x \right]_1^e = \frac{1}{4}(e^2+1)}\)
a)
zostawiłem na koniec - mam nadzieję, że sobie z nią poradzisz jak nie to daj znać (szczerze mówiąc nie chce mi się tego przepisywać...)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}} \\
2\pi\int\limits_{-2}^3 y\sqrt{1+(y')^2} dx=2\pi\int\limits_{-2}^3 \sqrt{25-x^2} \sqrt{1+\left(\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}\right)^2} dx = \\ = 2\pi\int\limits_{-2}^3 \sqrt{25-x^2} \sqrt{\frac{25}{25-x^2}} dx = 10\pi \int\limits_{-2}^3 dx = 10\pi(3+2)=50\pi}\)
c)
\(\displaystyle{ y'=3\sqrt{2x+1} \\
\int\limits_0^3 \sqrt{1+(y')^2}dx= \int\limits_0^3 \sqrt{18x+10}dx = \left[\frac{(18x+10)^{\frac{3}{2}}}{27} \right]_0^3 = \frac{512-10\sqrt{10}}{27}}\)
d)
\(\displaystyle{ y'=\frac{-3x^2}{2\sqrt{x^3}}=\frac{-3\sqrt{x}}{2} \\
\int\limits_0^4 \sqrt{1+(y')^2}dx= \int\limits_0^4 \sqrt{\frac{9x}{4}+1}dx = \frac{1}{2} \int\limits_0^4 \sqrt{9x+4}dx = \left[\frac{(9x+4)^{\frac{3}{2}}}{27} \right]_0^4 = \frac{80\sqrt{10}-8}{27}}\)
e)
\(\displaystyle{ y'=\frac{x}{2}-\frac{1}{2x}= \frac{x^2-1}{2x}\\
\int\limits_1^e \sqrt{1+(y')^2}dx=\int\limits_1^e \sqrt{1+\left(\frac{x^2-1}{2x}\right)^2}dx= \int\limits_1^e \sqrt{\left(\frac{x^2+1}{2x}\right)^2}dx = \int\limits_1^e \frac{x^2+1}{2x} dx = \\ =
\frac{1}{2} \left(\int\limits_1^e xdx + \int\limits_1^e \frac{dx}{x} \right)= \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2}+\ln x \right]_1^e = \frac{1}{4}(e^2+1)}\)
a)
zostawiłem na koniec - mam nadzieję, że sobie z nią poradzisz jak nie to daj znać (szczerze mówiąc nie chce mi się tego przepisywać...)