kilka zadań z grup i pierścieni
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 wrz 2007, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
kilka zadań z grup i pierścieni
Mam prośbę o pomoc w kilku zadaniach:
1) Podać przykład nieskończonego ciałą charakterystyki 5
2) Podać przykład pierścienie, który nie jest noetherowsi
3)Ile elementów rzędu 7 może zawierac grupa rzędu 168?
4)Podaj przykład grupy G rzędu 120 która nie jest rozwiazalna
5)Udowodnij, że grupa jest abelowa wtedy tylko wtedy gdy kazda jej klasa elementów sprzężonych jest jednoelementowa
6)Czy istnieje grupa G i takie jej podgrupy A i B że |AB| dzieli |G| ale AB nie jest podgrupą G ?
7)W pierścieniu (Z[1/150])[x] wskaż ideał który nie jest główny
I teraz trochę trudniejsze
8) Sknstruuj ciało 27-mio elementowe i znajdź w jego grupie multiplikatywnej element rzędu 13. Następnie zastosuj to do zbudowania grupy nieabelowej rzedu 351
1) Podać przykład nieskończonego ciałą charakterystyki 5
2) Podać przykład pierścienie, który nie jest noetherowsi
3)Ile elementów rzędu 7 może zawierac grupa rzędu 168?
4)Podaj przykład grupy G rzędu 120 która nie jest rozwiazalna
5)Udowodnij, że grupa jest abelowa wtedy tylko wtedy gdy kazda jej klasa elementów sprzężonych jest jednoelementowa
6)Czy istnieje grupa G i takie jej podgrupy A i B że |AB| dzieli |G| ale AB nie jest podgrupą G ?
7)W pierścieniu (Z[1/150])[x] wskaż ideał który nie jest główny
I teraz trochę trudniejsze
8) Sknstruuj ciało 27-mio elementowe i znajdź w jego grupie multiplikatywnej element rzędu 13. Następnie zastosuj to do zbudowania grupy nieabelowej rzedu 351
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
kilka zadań z grup i pierścieni
monothimu napisa:
[ Dodano: 22 Września 2007, 18:58 ]
ad 5 A co to jest klasa elementów sprzężonych ..?
[ Dodano: 22 Września 2007, 22:04 ]
ad 1 \(\displaystyle{ X=Z_5 \oplus Z_5 \oplus Z_5 \oplus....}\)
\(\displaystyle{ S_5}\)4)Podaj przykład grupy G rzędu 120 która nie jest rozwiazalna
[ Dodano: 22 Września 2007, 18:58 ]
ad 5 A co to jest klasa elementów sprzężonych ..?
[ Dodano: 22 Września 2007, 22:04 ]
ad 1 \(\displaystyle{ X=Z_5 \oplus Z_5 \oplus Z_5 \oplus....}\)
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
kilka zadań z grup i pierścieni
Po kolei:
1) Ciało funkcji wymiernych pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) powinno być ok...
2) \(\displaystyle{ (2x, 2x^2,2x^3, ... ) \lhd \mathbb{Z}[x]}\)
3) \(\displaystyle{ 168 = 2^3 3 17}\). Korzystamy z tw. Sylowa. Ile 17 - podgrup Sylowa może mieć ta grupa. Ilość ta przystaje 1 mod 17 i dzieli 168. Wśród dzielników 168 tylko jeden przystaje 1 mod 17 i jest nim liczba 1. Zatem grupa rzędu 168 ma dokładnie jedną 17 - grupę Sylowa. Jakiego rzędu jest ta grupa? Oczywiście 17. Zatem mamy 16 elementów rzędu 17.
4) zrobione
5) Klasa elementów sprzężonych elementu \(\displaystyle{ g G}\), to orbita tego elementu przy działaniu grupy na siebie przez sprzężenie. Jeżeli grupa jest abelowa, to jest oczywiste, że dla każdych \(\displaystyle{ g,h G}\), zachodzi \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), a więc klasa sprzężoności h jest jednoelementowa. Jeżeli zaś dla każdego elementu \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = x_{h}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{h}}\) ustalony i należy do G, to w szczególności mamy dla \(\displaystyle{ g = h}\) równość \(\displaystyle{ h = x_{h}}\), zatem dla każdego \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), czyli abelowość.
1) Ciało funkcji wymiernych pierścienia \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{5}}\) powinno być ok...
2) \(\displaystyle{ (2x, 2x^2,2x^3, ... ) \lhd \mathbb{Z}[x]}\)
3) \(\displaystyle{ 168 = 2^3 3 17}\). Korzystamy z tw. Sylowa. Ile 17 - podgrup Sylowa może mieć ta grupa. Ilość ta przystaje 1 mod 17 i dzieli 168. Wśród dzielników 168 tylko jeden przystaje 1 mod 17 i jest nim liczba 1. Zatem grupa rzędu 168 ma dokładnie jedną 17 - grupę Sylowa. Jakiego rzędu jest ta grupa? Oczywiście 17. Zatem mamy 16 elementów rzędu 17.
4) zrobione
5) Klasa elementów sprzężonych elementu \(\displaystyle{ g G}\), to orbita tego elementu przy działaniu grupy na siebie przez sprzężenie. Jeżeli grupa jest abelowa, to jest oczywiste, że dla każdych \(\displaystyle{ g,h G}\), zachodzi \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), a więc klasa sprzężoności h jest jednoelementowa. Jeżeli zaś dla każdego elementu \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = x_{h}}\), gdzie \(\displaystyle{ x_{h}}\) ustalony i należy do G, to w szczególności mamy dla \(\displaystyle{ g = h}\) równość \(\displaystyle{ h = x_{h}}\), zatem dla każdego \(\displaystyle{ h G}\) i dla każdego elementu \(\displaystyle{ g G}\) , mamy \(\displaystyle{ ghg^{-1} = h}\), czyli abelowość.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
kilka zadań z grup i pierścieni
nop. o ile db to rozumiem to AB to jest ogól elem ab. t ze a nalezy do A , zas b do B...o ile tak to chyba kontrzyklad taki , moze "...6)Czy istnieje grupa G i takie jej podgrupy A i B że |AB| dzieli |G| ale AB nie jest podgrupą G ?
\(\displaystyle{ G=S_4}\) i biore za A= {p, e}, B={q, e} , gdzie p i q to inwersje:
\(\displaystyle{ p= {1 2 3 4 \choose 1 2 4 3 }}\), \(\displaystyle{ p= {1 2 3 4 \choose 1 3 2 4 }}\), i
AB={e, p, q, r}=H, \(\displaystyle{ r= {1 2 3 4 \choose 1 4 2 3 }}\), r=pq
H nie tworzy podgrupy, bo \(\displaystyle{ rp H}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 wrz 2007, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
kilka zadań z grup i pierścieni
Dzięki serdeczne!!
Jeszcze tylko 7 zadanko...bo 8 jest i czasochłonne i pracochłonne..więc nie będę się martwił jak go nie będzie...
Z wielką przyjemnością zaminiłbym Was na mojego ćwiczeniowca
Jeszcze tylko 7 zadanko...bo 8 jest i czasochłonne i pracochłonne..więc nie będę się martwił jak go nie będzie...
Z wielką przyjemnością zaminiłbym Was na mojego ćwiczeniowca
- Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
kilka zadań z grup i pierścieni
Ad 7. Może np. ideał: \(\displaystyle{ (2x,2x^2,2x^3,2x^4,\ldots)}\) (przykład, który nie jest noetherowski powinien nie być główny )
Ad 8.
Jak skonstruować ciało 27 elementowe? Będziemy do tego potrzebowali ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\), oraz pewnego wielomianu nierozkładalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Co więcej, chcemy, aby wielomian ten był stopnia 3.
Weźmy: \(\displaystyle{ x^3 + 2x + 1 \in \mathbb{Z}_3[x]}\). Gdyby był on rozkładalny, wówczas rozkładałby się na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. W szczególności, miałby pierwiastek w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Podstawiając kolejne elementy (trzy) tego ciała, dostajemy, że funkcja wielomianowa wyznaczona przez naszego kandydata nie przyjmuje dla nich zera. Zatem wielomian jest nierozkładalny. Co z tego? Otóż to, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\) jako pierścień wielomianów nad ciałem jest dziedziną ideałów głównych. Ideał generowany przez element nierozkładalny w DIG, jest maksymalny. A iloraz pierścienia przez ideał maksymalny jest ciałem! Widać już do czego zmierzamy?
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x] / (x^3 + 2x + 1)}\) jest ciałem!
Łatwo zobaczyć, że jego elementami są warstwy następującej postaci:
\(\displaystyle{ \{ax^2 + bx + c + (x^3 + 2x + 1) | a,b,c \in \mathbb{Z}_3\}}\)
Widać więc, że jest to 27 elementowy zbiór. Mamy więc nasze ciało.
O co teraz chodzi z grupą nieprzemienną? Zauważmy kilka faktów:
1) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego jest grupą cykliczną.
2) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego pokrywa się z jego grupą automorfizmów.
W naszym przypadku grupa multiplikatywna ciała ma 26 elementów. Z tw. Cauchy'ego istnieje w niej element rzędu 13.
Teraz sprawa z grupą nieprzemienną rzędu \(\displaystyle{ 13 \cdot 27 = 351}\) polega na skonstruowaniu tzw. produktu półprostego grup, w tym przypadku grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) i grupy addytywnej naszego ciała. Nie wiem, czy spotkałeś się z takim tworem, ale nie jest on zbyt przyjazny Produkt półprosty to taka brzydka forma produktu prostego, ale jest w nią zamieszany homomorfizm pomiędzy jedną grupą, a grupą automorfizmów grupy drugiej. Co więcej, jeżeli homomorfizm ten jest nietrywialny, to już na 100% mamy grupę nieprzemienną.
Teraz, po to była cała szopka z konstruowaniem ciała, by mieć uwagę 2), a więc o identyczności grupy multiplikatywnej i grupy automorfizmów. Co więcej, skoro w grupie automorfizmów istnieje element rzędu 13, to mamy nietrywialny homomorfizm grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) w grupę automorfizmów ciała 27 elementowego. No i w rezultacie produkt półprosty tych grup jest nieabelowym tworem rzędu 351.
Nie wiem, czy warto rozwijać ten temat głębiej. Jeżeli chcesz, to daj znać
Ad 8.
Jak skonstruować ciało 27 elementowe? Będziemy do tego potrzebowali ciała \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3}\), oraz pewnego wielomianu nierozkładalnego w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Co więcej, chcemy, aby wielomian ten był stopnia 3.
Weźmy: \(\displaystyle{ x^3 + 2x + 1 \in \mathbb{Z}_3[x]}\). Gdyby był on rozkładalny, wówczas rozkładałby się na iloczyn wielomianów stopnia 1 i 2. W szczególności, miałby pierwiastek w \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\). Podstawiając kolejne elementy (trzy) tego ciała, dostajemy, że funkcja wielomianowa wyznaczona przez naszego kandydata nie przyjmuje dla nich zera. Zatem wielomian jest nierozkładalny. Co z tego? Otóż to, że \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x]}\) jako pierścień wielomianów nad ciałem jest dziedziną ideałów głównych. Ideał generowany przez element nierozkładalny w DIG, jest maksymalny. A iloraz pierścienia przez ideał maksymalny jest ciałem! Widać już do czego zmierzamy?
\(\displaystyle{ \mathbb{Z}_3[x] / (x^3 + 2x + 1)}\) jest ciałem!
Łatwo zobaczyć, że jego elementami są warstwy następującej postaci:
\(\displaystyle{ \{ax^2 + bx + c + (x^3 + 2x + 1) | a,b,c \in \mathbb{Z}_3\}}\)
Widać więc, że jest to 27 elementowy zbiór. Mamy więc nasze ciało.
O co teraz chodzi z grupą nieprzemienną? Zauważmy kilka faktów:
1) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego jest grupą cykliczną.
2) Grupa multiplikatywna każdego ciała skończonego pokrywa się z jego grupą automorfizmów.
W naszym przypadku grupa multiplikatywna ciała ma 26 elementów. Z tw. Cauchy'ego istnieje w niej element rzędu 13.
Teraz sprawa z grupą nieprzemienną rzędu \(\displaystyle{ 13 \cdot 27 = 351}\) polega na skonstruowaniu tzw. produktu półprostego grup, w tym przypadku grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) i grupy addytywnej naszego ciała. Nie wiem, czy spotkałeś się z takim tworem, ale nie jest on zbyt przyjazny Produkt półprosty to taka brzydka forma produktu prostego, ale jest w nią zamieszany homomorfizm pomiędzy jedną grupą, a grupą automorfizmów grupy drugiej. Co więcej, jeżeli homomorfizm ten jest nietrywialny, to już na 100% mamy grupę nieprzemienną.
Teraz, po to była cała szopka z konstruowaniem ciała, by mieć uwagę 2), a więc o identyczności grupy multiplikatywnej i grupy automorfizmów. Co więcej, skoro w grupie automorfizmów istnieje element rzędu 13, to mamy nietrywialny homomorfizm grupy \(\displaystyle{ Z_{13}}\) w grupę automorfizmów ciała 27 elementowego. No i w rezultacie produkt półprosty tych grup jest nieabelowym tworem rzędu 351.
Nie wiem, czy warto rozwijać ten temat głębiej. Jeżeli chcesz, to daj znać
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 12 wrz 2007, o 20:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Białystok
kilka zadań z grup i pierścieni
Dzięki serdeczne!!
Spróbuję reszte sam zrobić jesli będę miał watpliwości to się odezwę
Gratuluję tak obszernej wiedzy w takim wieku
Mogę powiedzieć, że było to najtrudniejsze zadanie na egzaminie, którego do końca nie zrobił nikt..
(matematka 2 rok)
[ Dodano: 24 Września 2007, 21:03 ]
Mam jeszcze kilka zadań z którymi nei umiem sobie poradzić:
1.1) Uzasadnij, że dla dowolnego ciała K w pierścieniu K[x,y]:(3x+5y, 5x+3y) = (x,y)
1.2) Uzasadnj, że suma mnogościowa dwóch zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym
1.3)wyznacz wszystkie dzielniki normalne gr S9
1.4)w pierścieniu Q|x| niech I=(x�x� +2x�x� + x�) Oblicz rad(I)
Spróbuję reszte sam zrobić jesli będę miał watpliwości to się odezwę
Gratuluję tak obszernej wiedzy w takim wieku
Mogę powiedzieć, że było to najtrudniejsze zadanie na egzaminie, którego do końca nie zrobił nikt..
(matematka 2 rok)
[ Dodano: 24 Września 2007, 21:03 ]
Mam jeszcze kilka zadań z którymi nei umiem sobie poradzić:
1.1) Uzasadnij, że dla dowolnego ciała K w pierścieniu K[x,y]:(3x+5y, 5x+3y) = (x,y)
1.2) Uzasadnj, że suma mnogościowa dwóch zbiorów algebraicznych jest zbiorem algebraicznym
1.3)wyznacz wszystkie dzielniki normalne gr S9
1.4)w pierścieniu Q|x| niech I=(x�x� +2x�x� + x�) Oblicz rad(I)
-
- Użytkownik
- Posty: 1
- Rejestracja: 9 paź 2007, o 21:55
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: tarnobrzeg
kilka zadań z grup i pierścieni
:/ moze ktos wie jak rozw takie zadanko
sprawdzic zbior wszystkich pierwiastkow zespolonych ustalonego stopnia n z liczby 1 jest grupa
sprawdzic zbior wszystkich pierwiastkow zespolonych ustalonego stopnia n z liczby 1 jest grupa