Obliczyć objętość bryły ograniczoną następującymi powierzchniami powierzchniami:
\(\displaystyle{ x=y^{2}+1, \ x=y+3, \ z=0, \ z=2x+y}\)
Objętość bryły ograniczona powierzchniami
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Objętość bryły ograniczona powierzchniami
No to spróbujemy:
- z zmienia się od 0 do \(\displaystyle{ 2x+y}\)
- x zmienia się od \(\displaystyle{ y^2+1}\) do \(\displaystyle{ y+3}\)
- y zmienia się od -1 do 2
Dostajemy całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^2 \int\limits_{y^2+1}^{y+3} \int\limits_0^{2x+y} dz dx dy =
\int\limits_{-1}^2 \int\limits_{y^2+1}^{y+3} (2x+y) dx dy =
\int\limits_{-1}^2 \left[x^2+xy \right]_{y^2+1}^{y+3} dy = \\ =
\int\limits_{-1}^2 (8+8y-y^3-y^4) dy = \left[8y+4y^2-\frac{y^4}{4}-\frac{y^5}{5} \right]_{-1}^2 = 25,65}\)
- z zmienia się od 0 do \(\displaystyle{ 2x+y}\)
- x zmienia się od \(\displaystyle{ y^2+1}\) do \(\displaystyle{ y+3}\)
- y zmienia się od -1 do 2
Dostajemy całkę:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-1}^2 \int\limits_{y^2+1}^{y+3} \int\limits_0^{2x+y} dz dx dy =
\int\limits_{-1}^2 \int\limits_{y^2+1}^{y+3} (2x+y) dx dy =
\int\limits_{-1}^2 \left[x^2+xy \right]_{y^2+1}^{y+3} dy = \\ =
\int\limits_{-1}^2 (8+8y-y^3-y^4) dy = \left[8y+4y^2-\frac{y^4}{4}-\frac{y^5}{5} \right]_{-1}^2 = 25,65}\)