Wyznacz ekstrema

[pandyskoteka]

Prosze o rozwiązanie (krok po kroku) tego przykładu bo nie wiem jak go zrobić:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x^{2}+y-2ln(xy)}\)

[Amon-Ra]

Analiza postaci matematycznej tej funkcji od razu powie, iż dziedziną jest zbiór \(\displaystyle{ D_f=(0,\infty)\times (0,\infty)\cup (-\infty,0)\times (-\infty,0)}\).

Liczysz pochodne cząstkowe:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2x-2\cdot \frac{1}{xy}\cdot y=2\left(x-\frac{1}{x}\right) \\ \frac{\partial f}{\partial y}=1-2\cdot \frac{1}{xy}\cdot x=1-\frac{2}{y}}\)

Pochodne te są klasy \(\displaystyle{ \mathcal{C}^{\infty}}\) w całej dziedzinie, gdyż pamiętajmy, że (0,0) do dziedziny nie należy. Na tej podstawie wystarczy rozwiązać ukłąd równań:

\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x}=2\left(x-\frac{1}{x}\right)=0 \\ \frac{\partial f}{\partial y}=1-\frac{2}{y}=0}\)

Rozwiązaniem tego układu równań są dwa punkty: \(\displaystyle{ (-1,2)}\) oraz \(\displaystyle{ (1,2)}\). Pierwszy z nich od razu odrzucamy, gdyż nie należy do dziedziny i funkcja w nim i tak nie jest określona. Pozostaje sprawdzić, czy w drugim z nich faktycznie ekstremum istnieje, a jeżeli tak, to jakie.

Liczymy pochodne rzędu drugiego w danym punkcie:

\(\displaystyle{ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2}(1,2)=\left. 2+\frac{2}{x^2} \right|_{(1,2)}=2+2=4 \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2}(1,2)=\left. \frac{2}{y^2}\right|_{(1,2)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2} \\ \frac{\partial ^2 f}{\partial x y}(1,2)=\frac{\partial ^2 f}{\partial y x}(1,2)=0}\)

Budujemy macierz Hessego:

\(\displaystyle{ H(1,2)=\left[ \begin{array}{cc}4 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right]}\)

Pierwszy z wyznaczników głównych wynosi 4, drugi wynosi 2 - oba są dodatnie, co implikuje konstatację, iż w punkcie (1,2) istnieje lokalne minimum.

[pandyskoteka]

Dzięki serdeczne