wyznacz te wartości \(\displaystyle{ x}\), dla ktorych istanieje suma nieskonczonego ciagu liczbowego
\(\displaystyle{ 2^{x},4^{x},8^{x}, ....}\)
nieskończony ciąg geometryczny
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
nieskończony ciąg geometryczny
Niech \(\displaystyle{ q}\) oznacza iloraz między dwoma kolejnymi wyrazami tego ciągu.
\(\displaystyle{ q = \frac{2^{(n + 1)x}}{2^{nx}} = 2^{x}}\)
Aby suma tego ciągu istniała musi być:
\(\displaystyle{ |q| < 1}\)
czyli (funkcja wykładnicza przyjmuje wartości nieujemne, więc możemy opuścić wartość bezwzględną):
\(\displaystyle{ 2^{x} < 1\\
2^{x} < 2^{0}}\)
a ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ 2}\) jest rosnąca, to powyższa nierówność jest równoważna następującej:
\(\displaystyle{ x < 0}\)
Czyli warunki zadania spełnia każda liczba \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 0)}\).
\(\displaystyle{ q = \frac{2^{(n + 1)x}}{2^{nx}} = 2^{x}}\)
Aby suma tego ciągu istniała musi być:
\(\displaystyle{ |q| < 1}\)
czyli (funkcja wykładnicza przyjmuje wartości nieujemne, więc możemy opuścić wartość bezwzględną):
\(\displaystyle{ 2^{x} < 1\\
2^{x} < 2^{0}}\)
a ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(\displaystyle{ 2}\) jest rosnąca, to powyższa nierówność jest równoważna następującej:
\(\displaystyle{ x < 0}\)
Czyli warunki zadania spełnia każda liczba \(\displaystyle{ x\in (-\infty, 0)}\).