Udowodnic granice

[Aragornik]

Dostalem takie zadanie udowodnic , że \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n}{3^n} = 0}\) moze mi ktos powiedziec jak to zrobic? bardzo dziekuje z gory

[Lider_M]

Skorzystaj np. z tego, że jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q}\)

[scyth]

Z jednej strony:
\(\displaystyle{ 0 \frac{n}{3^n}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n}{3^n} 0}\)
Z drugiej strony:
\(\displaystyle{ \frac{n}{3^n} \frac{1}{n}}\)
Zatem \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n}{3^n} \lim_{n\to } \frac{1}{n}=0}\)
Stąd \(\displaystyle{ \lim_{n\to } \frac{n}{3^n} = 0}\).

Nierówność \(\displaystyle{ \frac{n}{3^n} \frac{1}{n}}\), czyli inaczej:
\(\displaystyle{ n^2 3^n}\)
można w prosty sposób udowodnić np. indukcyjnie.

[max]

jeżeli istnieje granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q}\)