przeliczaność trójmianów kwadratowych

flak · Post autor: **flak** » 19 wrz 2007, o 23:55

Pokazać, że: zbiór wszystkich trójmianów kwadratowych postaci \(\displaystyle{ ax^{2} + bx+c}\) o współczynnikach całkowitych jest przeliczalny.

Czy ktoś może mi z tym pomóc?

scyth · Post autor: **scyth** » 20 wrz 2007, o 07:19

funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z}^3 \ni (a,b,c) ax^2+bx+c \mathbb{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\) jest zbiorem wszystkich trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych, jest bijekcją (każdy trójmian kwadratowy można zapisać jednoznacznie w tej postaci), zatem moce dziedziny i przeciwdziedziny są równe:
\(\displaystyle{ \Rightarrow \#{\mathbb{T}}=\#{\mathbb{Z}}^3=\aleph_0}\)

flak · Post autor: **flak** » 20 wrz 2007, o 11:06

scyth pisze:funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z}^3 \ni (a,b,c) ax^2+bx+c \mathbb{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\) jest zbiorem wszystkich trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych, jest bijekcją (każdy trójmian kwadratowy można zapisać jednoznacznie w tej postaci), zatem moce dziedziny i przeciwdziedziny są równe:
\(\displaystyle{ \Rightarrow \#{\mathbb{T}}=\#{\mathbb{Z}}^3=\aleph_0}\)

Dziękuję!

Post autor: **Jan Kraszewski** » 20 wrz 2007, o 22:28

scyth pisze:funkcja \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z}^3 \ni (a,b,c) ax^2+bx+c \mathbb{T}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\) jest zbiorem wszystkich trójmianów kwadratowych o współczynnikach całkowitych, jest bijekcją

Trochę przesadziłeś. Jeżeli weźmiesz dowolną trójkę liczb całkowitych, to wynik działania tego przekształcenia niekoniecznie jest trójmianem kwadratowym - trzeba wziąć funkcję o nieco innej dziedzinie...
JK