Całka szczególna równania różniczkowego

Skynet · Post autor: **Skynet** » 19 wrz 2007, o 23:00

Wyznaczyć całkę szczególną równania spełniającą podany warunek początkowy
\(\displaystyle{ \circ y'=2x+y,\ y(0)=1}\)
\(\displaystyle{ \circ y'-ytgx=\frac{1}{cosx},\ y(0)=3}\)
\(\displaystyle{ \circ y'-3y=xe^{3x},\ y(0)=3}\)

Jeśli mogę to prosiłbym o dokładne rozpisanie przynajmniej jednego przykładu. Nie wiem totalnie jak to zrobić tak więc na owym przykładowym rozwiązaniu chciałbym się tego nauczyć i spróbować samodzielnie coś zrobić.

Proszę o pomoc.

luka52 · Post autor: **luka52** » 19 wrz 2007, o 23:16

ad 1.
Rozwiązaniem równania jest:
\(\displaystyle{ y = -2(x+1) + Ce^{x}}\)
Wyliczamy stałą C tak aby otrzymana krzywa przechodziła przez punkt (0,1) płaszczyzny, stąd całką szczególną jest:
\(\displaystyle{ y = -2(x+1) + 3e^x}\)

Skynet · Post autor: **Skynet** » 20 wrz 2007, o 11:14

Dzięki ale szczerze mówiąc nic mi to nie mówi.

luka52 · Post autor: **luka52** » 20 wrz 2007, o 14:28

To czego w takim razie nie rozumiesz?
Niezrozumiałe są jakieś pojęcia z treści, problemy z rozwiązaniem równania,...?

Skynet · Post autor: **Skynet** » 20 wrz 2007, o 16:40

Nie wiem jak otrzymać tą postać. Jak przekształcić początkowe równanie.

luka52 · Post autor: **luka52** » 20 wrz 2007, o 16:45

Czyli, jeżeli dobrze rozumiem, to problem jest w uzyskaniu rozwiązania ogólnego?

Skynet · Post autor: **Skynet** » 20 wrz 2007, o 16:47

Tak. Szczególne uzyskuje się podstawiając pod x i y wartości z warunku i wyliczając C o ile dobrze myślę.

luka52 · Post autor: **luka52** » 20 wrz 2007, o 17:05

OK, zatem przykład 1:
Jest to równanie niejednorodne, więc w celu wyznaczenia rozwiązania najpierw rozwiążemy równanie jednorodne:
\(\displaystyle{ y' = y}\)
Rozdzielając zmienne znajdujemy rozwiązanie r. jednorodnego: \(\displaystyle{ y_1 = Ce^x}\)
Następnie jako całkę szczególną przewidujemy wyrażenie postaci:
\(\displaystyle{ y_2 = ax+b}\)
podstawiamy powyższe do równania i wyliczamy stałe a i b, otrzymamy wtedy:
\(\displaystyle{ y_2 = -2x-2}\)
Ostatecznie rozwiązaniem równania jest suma rozw. r. jednorodnego i rozw. szczególnego:
\(\displaystyle{ y = y_1 + y_2 = \ldots}\)

Skynet pisze: Szczególne uzyskuje się podstawiając pod x i y wartości z warunku i wyliczając C o ile dobrze myślę.

Tak

Przykład drugi z kolei rozwiążemy stosując metodę uzmienniania zmiennej:
Najpierw jednak r. jednorodne:
\(\displaystyle{ y' = y \tan x}\)
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie, mamy:
\(\displaystyle{ y_1 = \frac{C}{\cos x}}\)
Stosując metodę uzmienniania zmiennej mamy:
\(\displaystyle{ y = \frac{u(x)}{\cos x}, \quad y' = u \frac{\sin}{\cos^2 x} + u' \frac{1}{\cos x}}\)
Podstawiamy to do naszego równania:
\(\displaystyle{ u \frac{\sin}{\cos^2 x} + u' \frac{1}{\cos x} - u \frac{\sin x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x}\\
u' = 1\\
u = x + C}\)
Stąd \(\displaystyle{ y = \frac{x+C}{\cos x}}\)
Dalej należy wyznaczyć taką linię całkową, która przechodzi przez zadany punkt.

Skynet · Post autor: **Skynet** » 20 wrz 2007, o 17:49

Wielkie dzięki. Wiesz ja trochę namieszałem. Bo początkowe przykłady zadania opierały sie na rozwiązaniu zadania metodą zmiennych rozdzielonych i na silłę próbowałem ją stosować do całości tych równań.
Ostatni przykład najpierw jako równanie jednorodne rozwiązać a później równanie niejednorodne metoda przewidywań zgadza się?

luka52 · Post autor: **luka52** » 20 wrz 2007, o 18:00

Tak, możesz zastosować metodę przewidywania i przewidzieć rozwiązanie postaci \(\displaystyle{ y = (ax^2 + bx + c)e^{3x}}\).

Skynet · Post autor: **Skynet** » 20 wrz 2007, o 18:52

Dzięki za pomoc. Teraz mi naprawdę się rozjaśniło w głowie