Mam znalesc rozwiazywalnosc układu w zaleznosci od parametru A Prosze mi to rozwiazac.
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+ay+z=1\\-ax+y-3z=0\\ax+ay+2z=2 \end{array}}\)
Macierz z parametrem a
-
jasny
- Użytkownik
- Posty: 845
- Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Limanowa
- Pomógł: 191 razy
Macierz z parametrem a
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{ccc}2&a&1\\-a&1&-3\\a&a&2\end{array}\right|=4-3a^2-a^2+6a+2a^2-a=-2a^2+5a+4}\)
\(\displaystyle{ \Delta=57,\;a_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},\;a_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}}\)
\(\displaystyle{ W\neq0\,\Leftrightarrow\,a\neq\frac{5+\sqrt{57}}{4},\wedge\,a\neq\frac{5-\sqrt{57}}{4}}\) - jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ W_x=\left|\begin{array}{ccc}1&a&1\\0&1&-3\\2&a&2\end{array}\right|=2-6a+3a-2=-3a}\)
\(\displaystyle{ W_y=\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\-a&0&-3\\a&2&2\end{array}\right|=-3a-2a+12+2a=12-3a}\)
\(\displaystyle{ W_z=\left|\begin{array}{ccc}2&a&1\\-a&1&0\\a&a&2\end{array}\right|=4-a^2+2a^2-a=a^2-a+4}\)
Dla \(\displaystyle{ a=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\,\vee\,a=\frac{5-\sqrt{57}}{4},\;W_x\neq0\wedge W_y\neq0\wedge W_z\neq0}\) - układ sprzeczny
\(\displaystyle{ \Delta=57,\;a_1=\frac{5+\sqrt{57}}{4},\;a_2=\frac{5-\sqrt{57}}{4}}\)
\(\displaystyle{ W\neq0\,\Leftrightarrow\,a\neq\frac{5+\sqrt{57}}{4},\wedge\,a\neq\frac{5-\sqrt{57}}{4}}\) - jedno rozwiązanie
\(\displaystyle{ W_x=\left|\begin{array}{ccc}1&a&1\\0&1&-3\\2&a&2\end{array}\right|=2-6a+3a-2=-3a}\)
\(\displaystyle{ W_y=\left|\begin{array}{ccc}2&1&1\\-a&0&-3\\a&2&2\end{array}\right|=-3a-2a+12+2a=12-3a}\)
\(\displaystyle{ W_z=\left|\begin{array}{ccc}2&a&1\\-a&1&0\\a&a&2\end{array}\right|=4-a^2+2a^2-a=a^2-a+4}\)
Dla \(\displaystyle{ a=\frac{5+\sqrt{57}}{4}\,\vee\,a=\frac{5-\sqrt{57}}{4},\;W_x\neq0\wedge W_y\neq0\wedge W_z\neq0}\) - układ sprzeczny
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Macierz z parametrem a
Przepraszam bardzo, można dodać jeszcze coś takiego??:P
Suma 1. z 2. i 2. z 3. równania
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-ax+ay+y-2z=1 \\ ay+y-z=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(2-a)+y(a+1)-2z=1 \\ y(a+1)-z=2 \end{cases}}\)
1 rozw. współczynnik przed x,y lub z =0 czyli:
2-a=0
a=2
lub
a+1=0
a=-1
Czyli dla a różnego od 2 i różnego od -1- nieskończenie wiele rozw.
Suma 1. z 2. i 2. z 3. równania
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x-ax+ay+y-2z=1 \\ ay+y-z=2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x(2-a)+y(a+1)-2z=1 \\ y(a+1)-z=2 \end{cases}}\)
1 rozw. współczynnik przed x,y lub z =0 czyli:
2-a=0
a=2
lub
a+1=0
a=-1
Czyli dla a różnego od 2 i różnego od -1- nieskończenie wiele rozw.