Ekstremum funkcji

[sanCH0]

Ze względu na rozbieżność z moimi obliczeniami a notatkami w zeszycie chciałem aby ktoś sprawdził czy dobrze liczę.

\(\displaystyle{ f(x,y)=3x^{2}-2x\sqrt{y}+y-8x}\)

\(\displaystyle{ D_{f}: x\in R y\geqslant 0}\)


\(\displaystyle{ f'x(x,y)=6x-2\sqrt{y}-8}\)
\(\displaystyle{ f'y(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{y}}+1}\)


Przyrównuję pochodne cząstkowe do zera i po obliczeniu otrzymuję:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=2\\y=4\end{cases}}\)

Następnie obliczam pochodne cząstkowe drugiego rzędu:

\(\displaystyle{ f''xx(x,y)=6}\)

I tu nie jestem pewien czy dobrze liczę:

\(\displaystyle{ f''yy(x,y)=-x+\frac{1}{2\sqrt{y}}}\)

[sigma_algebra1]

\(\displaystyle{ f''_{yy}=\frac{x}{2 y^{\frac{3}{2}}}}\)

[sanCH0]

Mogła byś dokładnej opisać jak to obliczyłaś?

W zeszycie mam jeszcze inny wynik:

\(\displaystyle{ f''yy(x,y)=\frac{x}{2y\sqrt{y}}}\)

[sigma_algebra1]

Nie to dokladnie ten sam wynik popatrz:

\(\displaystyle{ y^{\frac{3}{2}}=y^{1+\frac{1}{2}}=y\sqrt{2}}\)

jak to obliczyc:

rózniczkujesz następujące wyrazenie po y :

\(\displaystyle{ -\frac{x}{\sqrt{y}}+1}\)

[ Dodano: 19 Września 2007, 23:31 ]
przepraszam oczywiscie mialo byc :

\(\displaystyle{ ...=y\sqrt{y}}\)

[Amon-Ra]

Jest błąd w dziedzinie...

[sanCH0]

Dziedzina poprawiona.

\(\displaystyle{ f''xy(x,y)=-\frac{1}{\sqrt{y}}}\)

\(\displaystyle{ f''xx(2,4)=6}\)

\(\displaystyle{ f''yy(2,4)=1/8}\)

\(\displaystyle{ f''xy(2,4)=-1/2}\)

\(\displaystyle{ W(Po)=1/2}\)

W punkcie Po występuje ekstremum lokalne i jest to minimum poniważ f'xx(Po) > 0

----------------------------------------------------------------------------------------


Mam jeszcze jeden przykład:

\(\displaystyle{ f(x,y)=(5-2x+y)*e^{x^{2}-y}}\)

\(\displaystyle{ Df: x R y R}\)

\(\displaystyle{ f'x(x,y)=e^{x^{2}-y}(-2+10x-4x^{2}+2xy)}\)

\(\displaystyle{ f'y(x,y)=e^{x^{2}-y}(-4+2x-y)}\)

Czy do tej pory jest dobrze? Jeśli tak to mam problem z równaniem ze względu na e.

[sigma_algebra1]

\(\displaystyle{ f_y^{''}=e^{x^2-y}+(5-2x+y)e^{x^2-y}(-1)}\)

czyli tam nie -5 a -4

[sanCH0]

czyli tam nie -5 a -4

Poprawione.

Po obliczeniu układu równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1\\y=-2\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ Po=(1,2)}\)

\(\displaystyle{ f''xx=e^{x^{2}-y}(-12x+20x^{2}-8x^{3}+4x^{2}y+2y+10)}\)

\(\displaystyle{ f''yy=e^{x^{2}-y}(3-2x+y)}\)

\(\displaystyle{ f''xy=e^{x^{2}-y}(2-8x+4x^{2}-2xy)}\)

Teraz nie wiem czy pod x i y podstawić 1 i -2 oraz czy pominąć \(\displaystyle{ e^{x^{2}-y}}\)