Nie potrafie obilczyc ekstrema funkcji wielu zmiennych
[ Dodano: 19 Września 2007, 11:27 ]
Prosze o pomoc , zadanie polega na obliczenie ekstremów w funkcji :
\(\displaystyle{ f(x,y) = x^{2} + xy + y^{2} - 2x - y}\)
poprosiłbym krok po kroku bo nie moge tego rozgrysc,
z góry dziekuje za wszystkie odpowiedzi.
Wyznaczyc ekstrema
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Podziękował: 4 razy
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Wyznaczyc ekstrema
ojej daj przykład to policzymy...
[ Dodano: 19 Września 2007, 11:39 ]
krok pierwszy
szukamy punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pochodnych cząstkowych funkcji f (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y-2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} = x+2y-1 \\}\)
Dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-2=0 \\
x+2y-1=0
\end{cases}}\)
Rozwiązania tego układu to hipotetyczne ekstrema.
A rozwiązaniem tego układu jest punkt (1,0).
krok drugi
liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \\}\)
oraz liczymy wyznacznik macierz pochodnych (hesjan) w podanym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{array}
=
\begin{array}{|c c|}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
= 4-1=3}\)
Akurat tutaj tego nie widać, ale może się zdarzyć, że drugi pochodne będą uzależnione od x lub y - wtedy wstawiasz znalezione wartości.
krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum
A więc funkcja w (1,0) ma minimum lokalne.
[ Dodano: 19 Września 2007, 11:39 ]
krok pierwszy
szukamy punktów stacjonarnych, czyli miejsc zerowych pochodnych cząstkowych funkcji f (warunek konieczny):
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x+y-2 \\
\frac{\partial f}{\partial y} = x+2y-1 \\}\)
Dostajemy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
2x+y-2=0 \\
x+2y-1=0
\end{cases}}\)
Rozwiązania tego układu to hipotetyczne ekstrema.
A rozwiązaniem tego układu jest punkt (1,0).
krok drugi
liczymy drugi pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2 \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 1 \\}\)
oraz liczymy wyznacznik macierz pochodnych (hesjan) w podanym punkcie:
\(\displaystyle{ \begin{array}{|c c|}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \\
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \\
\end{array}
=
\begin{array}{|c c|}
2 & 1 \\
1 & 2 \\
\end{array}
= 4-1=3}\)
Akurat tutaj tego nie widać, ale może się zdarzyć, że drugi pochodne będą uzależnione od x lub y - wtedy wstawiasz znalezione wartości.
krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum
A więc funkcja w (1,0) ma minimum lokalne.
- Amon-Ra
- Użytkownik
- Posty: 882
- Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tczew
- Pomógł: 175 razy
Wyznaczyc ekstrema
Ojojoj. Zapomniałeś o treści kryterium Sylvestera.scyth pisze:krok trzeci
badamy wyznacznik hesjanu;
- jeśli jest > 0 to mamy minimum
- jeśli jest < 0 to mamy maksimum
Jeżeli hesjan (macierz drugiej pochodnej) jest określony dodatnio (czyli wszystkie minory główne są dodatnie), to jest minimum, jeżeli zaś ujemnie (pierwszy minor ujemny, drugi dodatni i naprzemiennie), jest maksimum.
Osobną sprawą są przypadki, gdy hesjan jest określony niedodatnio, nieujemnie, lub gdy jest nieokreślony.
- scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Wyznaczyc ekstrema
no chyba za szybko
batory1533, zajrzyj tu ->
Jest napisane jak stwierdzić z jakim ekstremum mamy do czynienia, nie będę tego przepisywał.
Przepraszam za błąd...
batory1533, zajrzyj tu ->
Jest napisane jak stwierdzić z jakim ekstremum mamy do czynienia, nie będę tego przepisywał.
Przepraszam za błąd...
-
- Użytkownik
- Posty: 7
- Rejestracja: 19 wrz 2007, o 09:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Radomsko
- Podziękował: 4 razy