Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
- claher
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubień
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
1. Oblicz
a)2001\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) * 2002\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) - 2000\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)*2003\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)
b) Znajdź cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ 2003^{2003}}\)
2.Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.
3.Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!+2!+3!+...+20!.
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^n}\) .
Odpowiedzi uzasadnij.
4.Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k > 3, liczba postaci \(\displaystyle{ k^{3} +3k^{2}-4k-12}\) jest iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.
5.Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 > 0}\)
Jestem nowy na forum i bardzo proszę o napisanie odpowiedzi do tych zadań.
a)2001\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) * 2002\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\) - 2000\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)*2003\(\displaystyle{ \frac{5}{19}}\)
b) Znajdź cyfrę jedności liczby \(\displaystyle{ 2003^{2003}}\)
2.Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.
3.Symbol n! gdzie n jest liczbą naturalną , oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n. Dodatkowo przyjmujemy, że 0! = 1 i 1! = 1
a) Znajdź dwie ostatnie cyfry liczby 1!+2!+3!+...+20!.
b) Znajdź największą liczbę naturalną n, dla której 25! jest podzielne przez \(\displaystyle{ 10^n}\) .
Odpowiedzi uzasadnij.
4.Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej k > 3, liczba postaci \(\displaystyle{ k^{3} +3k^{2}-4k-12}\) jest iloczynem, co najmniej czterech liczb pierwszych.
5.Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych a i b spełniony jest warunek:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 > 0}\)
Jestem nowy na forum i bardzo proszę o napisanie odpowiedzi do tych zadań.
Ostatnio zmieniony 17 wrz 2007, o 16:29 przez claher, łącznie zmieniany 3 razy.
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Ad 5:
Jeśli a i b są tego samego znaku, to \(\displaystyle{ ab \geq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab +b^2 = a^2 - 2ab+b^2 +3ab=(a-b)^2 +3ab > 3ab \geq 0}\).
Jesłi a i b są różnych znaków, to \(\displaystyle{ ab \leq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab+b^2 = a^2 +2ab+b^2 - ab = (a+b)^2 - ab >-ab q 0}\).
Jeśli a i b są tego samego znaku, to \(\displaystyle{ ab \geq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab +b^2 = a^2 - 2ab+b^2 +3ab=(a-b)^2 +3ab > 3ab \geq 0}\).
Jesłi a i b są różnych znaków, to \(\displaystyle{ ab \leq 0}\) i \(\displaystyle{ a^2 +ab+b^2 = a^2 +2ab+b^2 - ab = (a+b)^2 - ab >-ab q 0}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Tristan napisał:
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 =(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}}\)
Mozna tez ujac to w całosc wg wzoru:Jeśli a i b są tego samego znaku, to
\(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 =(a+\frac{b}{2})^2+\frac{3b^2}{4}}\)
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Ad 1:
a) Zauważ, że \(\displaystyle{ 2001 \frac{5}{19} 2002 \frac{5}{19} - 2000 \frac{5}{19} 2003 \frac{5}{19}=(2001+ \frac{5}{19} )(2002+ \frac{5}{19}) - (2000+ \frac{5}{19})(2003 + \frac{5}{19})=2001 2002 + 2001 \frac{5}{19} + 2002 \frac{5}{19} + ( \frac{5}{19})^2 -( 2000 2003 + 2000 \frac{5}{19} + 2003 \frac{5}{19} + (\frac{5}{19})^2)=2001 2002 +4003 \frac{5}{19} +( \frac{5}{19})^2 - 2000 2003 - 4003 \frac{5}{19} - ( \frac{5}{19})^2=2001 2002 - 2000 2003=(2000 +1) 2002 - 2000\cdot (2002+1)= 2000 2002 +2002 - 2000 2002 - 2000=2002 -2000=2}\)
b) \(\displaystyle{ 2003^{2003} \equiv 3^{2003} =3^3 3^{2000}=27 81^{500} \equiv 7 81^{500} \equiv 7 1^{500}=7 (\mod 10)}\)
Ad 2:
Z treści zadania wynika, że istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k,l}\), że zachodzą równania \(\displaystyle{ 4373=kn+8, 826=ln+7}\). Pomnóżmy pierwsze rónanie przez l, a drugie przez k. Mamy \(\displaystyle{ 4373l=lkn+8l , 826k=lkn+7k}\). Odejmijmy te dwa równania od siebie, a otrzymamy \(\displaystyle{ 4373l-826k=8l-7k}\), czyli \(\displaystyle{ 4365l=819k}\). Możemy podzielić to stronami przez 9, otrzymując \(\displaystyle{ 485l=91k}\). Ponieważ liczby 91 i 485 nie mają żadnego wspólnego czynnika większego od 1, ( czyli są względnie pierwsze), to aby dane równanie miało rozwiązanie, to musi zachodzić \(\displaystyle{ l=91, k=485}\). Powracamy teraz do naszych podstatowych dwóch równań. Podstawiając np. do drugiego l=91 otrzymujemy \(\displaystyle{ 826=91n+7}\), skąd \(\displaystyle{ 819=91n}\), czyli \(\displaystyle{ n=9}\).
a) Zauważ, że \(\displaystyle{ 2001 \frac{5}{19} 2002 \frac{5}{19} - 2000 \frac{5}{19} 2003 \frac{5}{19}=(2001+ \frac{5}{19} )(2002+ \frac{5}{19}) - (2000+ \frac{5}{19})(2003 + \frac{5}{19})=2001 2002 + 2001 \frac{5}{19} + 2002 \frac{5}{19} + ( \frac{5}{19})^2 -( 2000 2003 + 2000 \frac{5}{19} + 2003 \frac{5}{19} + (\frac{5}{19})^2)=2001 2002 +4003 \frac{5}{19} +( \frac{5}{19})^2 - 2000 2003 - 4003 \frac{5}{19} - ( \frac{5}{19})^2=2001 2002 - 2000 2003=(2000 +1) 2002 - 2000\cdot (2002+1)= 2000 2002 +2002 - 2000 2002 - 2000=2002 -2000=2}\)
b) \(\displaystyle{ 2003^{2003} \equiv 3^{2003} =3^3 3^{2000}=27 81^{500} \equiv 7 81^{500} \equiv 7 1^{500}=7 (\mod 10)}\)
Ad 2:
Z treści zadania wynika, że istnieją takie liczby naturalne \(\displaystyle{ k,l}\), że zachodzą równania \(\displaystyle{ 4373=kn+8, 826=ln+7}\). Pomnóżmy pierwsze rónanie przez l, a drugie przez k. Mamy \(\displaystyle{ 4373l=lkn+8l , 826k=lkn+7k}\). Odejmijmy te dwa równania od siebie, a otrzymamy \(\displaystyle{ 4373l-826k=8l-7k}\), czyli \(\displaystyle{ 4365l=819k}\). Możemy podzielić to stronami przez 9, otrzymując \(\displaystyle{ 485l=91k}\). Ponieważ liczby 91 i 485 nie mają żadnego wspólnego czynnika większego od 1, ( czyli są względnie pierwsze), to aby dane równanie miało rozwiązanie, to musi zachodzić \(\displaystyle{ l=91, k=485}\). Powracamy teraz do naszych podstatowych dwóch równań. Podstawiając np. do drugiego l=91 otrzymujemy \(\displaystyle{ 826=91n+7}\), skąd \(\displaystyle{ 819=91n}\), czyli \(\displaystyle{ n=9}\).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
muszkatek napisał:
np dla k=5
[ Dodano: 17 Września 2007, 18:40 ]
ad 1 b
wsk
\(\displaystyle{ 2001^{2000} \equiv \ 1 (mod \ 10)}\)
nie prawdziwy...a punkt 4 ?
np dla k=5
[ Dodano: 17 Września 2007, 18:40 ]
ad 1 b
wsk
\(\displaystyle{ 2001^{2000} \equiv \ 1 (mod \ 10)}\)
- max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Ale jeśli by założyć, że nie wymagamy, aby te liczby pierwsze były różne (nie ma takiego warunku w treści zadania), to:mol_ksiazkowy pisze:muszkatek napisał:nie prawdziwy...a punkt 4 ?
np dla k=5
\(\displaystyle{ k^{3} + 3k - 4k - 12 = k^{3} - 2k^{2} + 5k^{2} - 10k + 6k - 12 = \\
= (k - 2)(k^{2} + 5k + 6) = (k-2)(k + 2)(k + 3)}\)
dla \(\displaystyle{ k > 3, k \mathbb{N}}\) jest to iloczyn trzech liczb naturalnych, przy czym jeden z czynników: \(\displaystyle{ k + 2}\) lub \(\displaystyle{ k + 3}\) jest liczbą parzystą różną od \(\displaystyle{ 2}\), czyli musi mieć co najmniej \(\displaystyle{ 2}\) (niekoniecznie różne) czynniki pierwsze, pozostałe czynniki mają w rozkładzie kanonicznym co najmniej jeden czynnik pierwszy, a zatem liczba:
\(\displaystyle{ k^{3} + 3k - 4k - 12}\) jest iloczynem co najmniej 4 (niekoniecznie różnych) liczb pierwszych.
[ Dodano: 17 Września 2007, 19:35 ]
3.
a) szukamy takiego całkowitego \(\displaystyle{ 0 qslant a < 100}\), że \(\displaystyle{ s\equiv a od{100}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s = 1! + 2! + 3! + \ldots + 20!}\)
Teraz zacznij od tego, że:
\(\displaystyle{ 1! = 1 \equiv 1\pmod{100}}\)
i skorzystaj z tego, że obie strony kongruencji można mnożyć przez stałą całkowitą, oraz z tego, że kongruencje można dodawać stronami.
b) Zauważ, że \(\displaystyle{ 10 = 2\cdot 5}\), więc \(\displaystyle{ 10^{n} = 2^{n}\cdot 5^{n}}\) i szukaj liczby piątek w rozkładzie na czynniki liczby \(\displaystyle{ 25!}\) (bo dwójek i tak będzie więcej).
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11373
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
2.Gdy liczbę 4373 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 8. Gdy liczbę 826 podzielono przez liczbę n, to otrzymano resztę 7. Wyznacz n.
\(\displaystyle{ 4373=an+8}\)
\(\displaystyle{ 826=bn+7}\)
n=?
- claher
- Użytkownik
- Posty: 118
- Rejestracja: 17 wrz 2007, o 14:41
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lubień
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 3 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Pogrubiłem rzeczy których nie rozumiem.[ Dodano: 17 Września 2007, 19:35 ]
3.
a) szukamy takiego całkowitego \(\displaystyle{ 0 qslant a < 100}\), że \(\displaystyle{ s\equiv a od{100}}\)
gdzie \(\displaystyle{ s = 1! + 2! + 3! + \ldots + 20!}\)
Teraz zacznij od tego, że:
\(\displaystyle{ 1! = 1 \equiv 1\pmod{100}}\)
i skorzystaj z tego, że obie strony kongruencji można mnożyć przez stałą całkowitą, oraz z tego, że kongruencje można dodawać stronami.
b) Zauważ, że \(\displaystyle{ 10 = 2\cdot 5}\), więc \(\displaystyle{ 10^{n} = 2^{n}\cdot 5^{n}}\) i szukaj liczby piątek w rozkładzie na czynniki liczby \(\displaystyle{ 25!}\) (bo dwójek i tak będzie więcej).
Bardzo proszę o odpowiedź. Tak abym mógł zrozumieć kongruencje i przy okazi skończyć zadanie
- Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Potęgi,reszty, szukanie cyfry jedności
Ad 3a):
Wiemy już, że \(\displaystyle{ 1! \equiv 1 ( \mod 100)}\) . Pomnóżmy tę kongruencję stronami przez 2. Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2! \equiv 1 2=2 ( \mod 100)}\). Pomnóżmy przez 3, a potem przez 4 itd. Otrzymamy kolejno:
\(\displaystyle{ 3! \equiv 2 3=6 ( \mod 100) \\ 4! \equiv 6 4=24 ( \mod 100) \\ 5! \equiv 24 5=120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 6! \equiv 20 6 =120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 7! \equiv 20 7 = 140 \equiv 40 ( \mod 100) \\ 8! \equiv 40 8=320 \equiv 20 (\mod 100)}\)
Itd. itd.
W ten sposób łatwo obliczysz do czego przystają kolejne silnie, aż do 20!. A potem to po prostu zsumuj
Wiemy już, że \(\displaystyle{ 1! \equiv 1 ( \mod 100)}\) . Pomnóżmy tę kongruencję stronami przez 2. Otrzymujemy, że \(\displaystyle{ 2! \equiv 1 2=2 ( \mod 100)}\). Pomnóżmy przez 3, a potem przez 4 itd. Otrzymamy kolejno:
\(\displaystyle{ 3! \equiv 2 3=6 ( \mod 100) \\ 4! \equiv 6 4=24 ( \mod 100) \\ 5! \equiv 24 5=120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 6! \equiv 20 6 =120 \equiv 20 ( \mod 100) \\ 7! \equiv 20 7 = 140 \equiv 40 ( \mod 100) \\ 8! \equiv 40 8=320 \equiv 20 (\mod 100)}\)
Itd. itd.
W ten sposób łatwo obliczysz do czego przystają kolejne silnie, aż do 20!. A potem to po prostu zsumuj