Granica

[Geldron]

Proszę o pomoc z następującą granicą:

\(\displaystyle{ \lim_{x\to }(x-x^{2}ln(1+\frac{1}{x}))}\)

[greey10]

\(\displaystyle{ \lim (1+\frac{1}{x})^{x}=e}\)
\(\displaystyle{ \lim x-\ln{(1+\frac{1}{x})^{x^{2}}}=0}\) jednak prosil bym o sprawdzenie dawno nie stykalem sie z granicami i duzo pozapominalem

[Lider_M]

@greey10 źle to rozwiązałeś, przeanalizuj jeszcze raz.

A tutaj będzie trzeba przekształcić do odpowiedniej postaci i hospitalizować / ewentualnie z Taylora.

Granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

[Geldron]

@greey10 źle to rozwiązałeś, przeanalizuj jeszcze raz.

A tutaj będzie trzeba przekształcić do odpowiedniej postaci i hospitalizować / ewentualnie z Taylora.

Granica wynosi \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

A mógłbyś napisać jak to przekształcałeś?

[Lider_M]

\(\displaystyle{ x\left[1-x\ln\left(1+\frac{1}{x}\right)\right]}\) teraz podstawienie \(\displaystyle{ t=\frac{1}{x}}\) i liczymy granicę:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{1-\frac{\ln (1+t)}{t}}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{t-\ln (1+t)}{t^2}}\) i teraz dwa sposoby:
1. hospitalozować i wychodzi po przekształceniach: \(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{1}{2+2t}=\frac{1}{2}}\)
2. skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \ln (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+O(t^3)}\) więc:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{\frac{t^2}{2}+O(t^3)}{t^2}=\lim_{t\to 0}\left(\frac{1}{2}+O(t)\right)=\frac{1}{2}}\)

Można też hostpitalozować po 'iksie', ale do końcowego obliczenia tej granicy będą potrzebne dwie hospitalizacje.