Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję:
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=\int\limits_{0}^{x}cos\sqrt{t}dt,}\) obliczyć \(\displaystyle{ f^{(18)}(0)}\)
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=\frac{x}{x^{2}-5x+6},}\) dla jakich x prawdziwe jest to rozwinięcie?
\(\displaystyle{ \circ\ f(x)=x^{6}arctgx,}\) wyznaczyć promień zbieżności otrzymanego szeregu.
Proszę o pomoc.
Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
1. Skorzystaj z rozwinięcia w szereg funkcji cosinus i z twierdzenia o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem.
2. Rozłóż na ułamki proste, rozwiń każdy z nich osobno (korzystając z wzoru na sumę szeregu geometrycznego) i zsumuj rozwinięcia wyraz za wyrazem.
3. Rozwiń najpierw w szereg funkcję \(\displaystyle{ \arctan}\) (np całkując wyraz za wyrazem rozwinięcie jej pochodnej), a następnie wymnóż otrzymane rozwinięcie wyraz po wyrazie przez \(\displaystyle{ x^{6}}\)
2. Rozłóż na ułamki proste, rozwiń każdy z nich osobno (korzystając z wzoru na sumę szeregu geometrycznego) i zsumuj rozwinięcia wyraz za wyrazem.
3. Rozwiń najpierw w szereg funkcję \(\displaystyle{ \arctan}\) (np całkując wyraz za wyrazem rozwinięcie jej pochodnej), a następnie wymnóż otrzymane rozwinięcie wyraz po wyrazie przez \(\displaystyle{ x^{6}}\)
-
Skynet
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 11 wrz 2007, o 11:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 20 razy
- Pomógł: 1 raz
Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję
Z pierwszego otrzymuję coś takiego:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(\sqrt{t})^{2n}dt\right)=\int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}t^{n}dt\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int\limits_{0}^{x}t^{n}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\left[\frac{1}{n+1}t^{n+1}\right]^{x}_{0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\frac{1}{n+1}x^{n+1}}\)
Dobrze to policzyłem?
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}(\sqrt{t})^{2n}dt\right)=\int\limits_{0}^{x}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}t^{n}dt\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\int\limits_{0}^{x}t^{n}dt=}\)
\(\displaystyle{ =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\left[\frac{1}{n+1}t^{n+1}\right]^{x}_{0}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}\frac{1}{n+1}x^{n+1}}\)
Dobrze to policzyłem?
