Zmiana iteracji w całce podwójnej

[kmaro]

mam całkę:

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}
[\int\limits_{-\sqrt{x+4}}^{\sqrt{x+4}}
f(x,y)dy ] dx
+
t\limits_{0}^{5}
[\int\limits_{-\sqrt{x+4}}^{2-x}
f(x,y)dy ] dx}\)

Czy ona po zmianie iteracji wygląda tak?:

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}dy
t\limits_{-y^2-4}^{y^2-4}
f(x,y)dx
+
t\limits_{0}^{5}dy
t\limits_{-y^2-4}^{2-y}
f(x,y)dx}\)


????

[rObO87]

Dobrze napisałeś kolejność dydx? Nie tak powinno być?

\(\displaystyle{ \int\limits_{-4}^{0}
t\limits_{-\sqrt{x+4}}^{\sqrt{x+4}}
f(x,y)dxdy}\)

obszar zielony

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{5}
t\limits_{-\sqrt{x+4}}^{2-x}
f(x,y)dxdy}\)

obszar czerwony



Jak widać, "suma" tych obszarów nie jest normalna względem osi OX, dlatego mamy 2 całki. By zmienić iterację "obracamy" układ i mamy:




\(\displaystyle{ \int\limits_{-2}^{2}
t\limits_{\sqrt{y^2-4}}^{2-y}
f(x,y)dydx}\)

(tak mi się wydaje )

W zadaniach tego typu zawsze staraj się naszkicować jak wygląda obszar całkowania

[kmaro]

kolejność dydx jest poprawna tak było w zadaniu, no zobaczymy jak mi egzamin poszedł, ale to dopiero jutro

[luka52]

Tak, kolejność "dydx" w pierwszym poście kmaro jest OK.

Natomiast po zamianie kolejności całkowania, całka powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ \int\limits_{-3}^2 \, \mbox{d}y t\limits_{y^2 - 4}^{2-y}f(x,y) \, }\)

[rObO87]

a z kąd -3 ?

[luka52]

Bo jest to "ygrekowa" współrzędna jednego z punktów przecięcia się tych dwóch krzywych.

[rObO87]

Faktycznie, na wykresie widać.

[kmaro]

Wielkie dzieki panowie.Juz duzo pózniej po napisaniu tego posta krażylem koło tego rozwiazania i juz wiem gdzie byka robiłem. wielkie dzieki luka52, rObO87, dzieki za wykresy.