metryka

[crayan4]

Sprawdzić czy metryka i wyznaczyć kule ( to przede wszystkim)


\(\displaystyle{ d(x,y) = |2^x - 2^y| + |4^x - 4^y|}\)


Kula: \(\displaystyle{ K(0,4)}\)

[scyth]

Jest to metryka, bo:
1.
\(\displaystyle{ d(x,y)=0 2^x=2^y 4^x=4^y x=y}\)
2.
\(\displaystyle{ d(x,y)=d(y,x)}\)
3. Niech punkty x, y i z będą parami różne. Wtedy (korzystamy z \(\displaystyle{ |a|+|b| |a+b|}\)):
\(\displaystyle{ d(x,y)+d(y,z)=|2^x-2^y|+|4^x-4^y|+|2^y-2^z|+|4^y-4^z| \\
|2^x-2^y+2^y-2^z| + |4^x-4^y+4^y-4^z| = |2^x-2^z|+|4^x-4^z|=d(x,z)}\)

Wyznaczamy kulę:
\(\displaystyle{ K(0,4)=\{x\in\mathbb{R} : d(0,x)\le4 \} = \{x\in\mathbb{R} : |1-2^x|+|1-4^x|\le4 \} = \\ = \{x\in\mathbb{R} : x 1\}}\)

[crayan4]

mozesz rozpisac jak Ci wychodzi kula x mniejsza lub równa 1??

[scyth]

Dla \(\displaystyle{ x \le 0}\) mamy:
\(\displaystyle{ |1-2^x|+|1-4^x| = 1-2^x+1-4^x \le 2}\)
gdy \(\displaystyle{ x > 0}\) ma być:
\(\displaystyle{ 2^x-1+4^x-1 4 \\
2^x+4^x 6 = 2+4 \\
x 1}\)

(korzystam z monotoniczności funkcji i sprytnej obserwacji ).